Tabela e derivateve | Matematika

Tabela e derivateve

Sipas përkufizimit të derivatit: Derivat i një funksioni f në pikën a quhet limiti $\displaystyle$ $\displaystyle f'\left( a \right)=\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( a+h \right)-f\left( a \right)}{h}$
në rast se ky limit ekziston kemi përmbledhur gjithe derivatet e funksioneve të thjeshta dhe të përbëra tek tabela e derivateve më poshtë:

Funksioni	Derivati në lidhje me f'(x) në pikën x
$\displaystyle y=k$	0
$\displaystyle y=x$	1
$\displaystyle y=kx+b$	k
$\displaystyle y=a{{x}^{2}}+bx+c$	$\displaystyle 2ax+b$
$\displaystyle y={{a}^{x}}$	$\displaystyle {{a}^{x}}\cdot \ln a$
$\displaystyle y={{e}^{x}}$	$\displaystyle {{e}^{x}}$
$\displaystyle y={{x}^{n}}$ , $\displaystyle n\in N$	$\displaystyle n\cdot {{x}^{n-1}}$
$\displaystyle y={{x}^{\alpha }}$	$\displaystyle \alpha \cdot {{x}^{\alpha -1}}$
$\displaystyle y={{\log }_{a}}x$	$\displaystyle y=\frac{1}{x\cdot \ln a}$
$\displaystyle y=\sin x$	$\displaystyle \cos x$
$\displaystyle y=\cos x$	$\displaystyle -\sin x$
$\displaystyle y=tgx$	$\displaystyle \frac{1}{{{\cos }^{2}}x}$
$\displaystyle y=\cot x$	$\displaystyle -\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}$
$\displaystyle y=\sec x$	$\displaystyle \sec x\cdot tgx$
$\displaystyle y=\csc x$	$\displaystyle -\csc x\cdot cotgx$
$\displaystyle y={{\sin }^{-1}}x$	$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}$
$\displaystyle y={{\cos }^{-1}}x$	$\displaystyle \frac{-1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}$
$\displaystyle y=t{{g}^{-1}}x$	$\displaystyle \frac{1}{{{x}^{2}}+1}$
$\displaystyle y=cot{{g}^{-1}}x$	$\displaystyle \frac{-1}{{{x}^{2}}+1}$
$\displaystyle y={{\sec }^{-1}}x$	$\displaystyle \frac{1}{\|x\|\sqrt{{{x}^{2}}-1}}$
$\displaystyle y=cs{{c}^{-1}}x$	$\displaystyle \frac{-1}{\|x\|\sqrt{{{x}^{2}}-1}}$

Shuma, diferenca, prodhimi dhe raporti i derivatit

Kujtojmë që derivati i funksionit shkruhet $\displaystyle f'\left( a \right)=\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( a+h \right)-f\left( a \right)}{h}$ .

Ndryshe derivati i një funksioni shkruhet $\displaystyle \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( a \right)}{x-a}$ .

Duke u bazuar nga tabela e derivateve më sipër, arrijmë të gjejmë dhe shumën, diferencën, prodhimin dhe raportin e derivateve duke zbatuar rregullat e derivimit.

Shuma e derivateve	$\displaystyle {{\left( f+g \right)}^{\prime }}={f}'+{g}'$

Diferenca e derivateve	$\displaystyle {{\left( f-g \right)}^{\prime }}={f}'-{g}'$

Prodhimi i derivateve	$\displaystyle \left( f\cdot g \right)'=f'\cdot g+f\cdot g'$

Raporti i derivateve	$\displaystyle \left( \frac{f}{g} \right)'=\frac{{f}'\cdot g-f\cdot {g}'}{{{g}^{2}}}$