Detyra.Al Detyra.Al

  • Kreu
  • Matematika
    • Matematika 6
    • Matematika 7
    • Matematika 8
    • Matematika 9
    • Matematika 10
    • Matematika 11
    • Matematika 12
  • Fizika
  • Matematika Baze
  • Matura dhe provimi i lirimit
  • Kimia
    • Kimia 8
    • Kimia 9
Home / Rregullat e derivimit

Rregullat e derivimit

funksionet e derivueshem

Teorema 1: Në qoftë se f,g janë dy funksione të derivueshme në një interval I, atëherë edhe shuma e tyre s=f+g është një funksion i derivueshem në intervalin I dhe për çdo \displaystyle x\in I kemi:

\displaystyle s'\left( x \right)=f'\left( x \right)+g'\left( x \right).

Shkurt shkruajmë \displaystyle \left( f+g \right)'=f'+g', për çdo \displaystyle x\in I.

 

Keshille! Per shembuj te zgjidhur shikoni Ushtrime te zgjidhura – Derivate

 

qese plastike

Shembulli 1

a) Gjeni bashkësitë ku është i derivueshëm funksioni \displaystyle y=\frac{1}{x}+{{x}^{3}}

b) Gjeni derivatin e këtij funksioni në pikën x dhe në pikën 2.

 

Zgjidhje

a) E shkruajmë funksionin y si shumë 2 funksionesh:

\displaystyle f\left( x \right)=\frac{1}{x}

\displaystyle g\left( x \right)={{x}^{3}}.

 

Gjejmë bashkësitë e përcaktimit të dy funksioneve:

\displaystyle f\left( x \right)=\frac{1}{x}, për çdo \displaystyle x\ne 0.

\displaystyle g\left( x \right)={{x}^{3}}, për çdo \displaystyle x\in R.

Për të gjetur bashkësinë e përcaktimit të shumës së funksioneve mjafton të gjejmë prerjen e bashkësive dhe do të kemi:

\displaystyle y=\left( f+g \right)\left( x \right)=\frac{1}{x}+{{x}^{3}}, për çdo \displaystyle x\ne 0.

Në bazë të teoremës do të kemi që funksioni është i derivueshem në bashkësinë \displaystyle A=\left\{ x\in R/x\ne 0 \right\}.

 

b) Për të gjetur derivatin e funksionit të shumës mjafton të gjejmë shumën e derivative, bazuar tek teorema më sipër:

\displaystyle \left( f+g \right)'=f'+g'

\displaystyle f'=\left( \frac{1}{x} \right)'=-\frac{1}{{{x}^{2}}}, për çdo \displaystyle x\ne 0.

\displaystyle g'=\left( {{x}^{3}} \right)'=3{{x}^{2}}.

(për gjetjen e derivateve më sipër zbatuam teoremat për gjetjen e derivateve të funksioneve të thjeshta).

\displaystyle \left( f+g \right)'=-\frac{1}{{{x}^{2}}}+3{{x}^{2}}, për çdo \displaystyle x\ne 0.

 

Gjejmë derivatin në pikën \displaystyle x=2:

\displaystyle \left( f+g \right)'\left( 2 \right)=-\frac{1}{{{2}^{2}}}+3\cdot {{2}^{2}}

\displaystyle \left( f+g \right)'\left( 2 \right)=-\frac{1}{4}+12=\frac{47}{4}.

 

 
Teorema 2: Në qoftë se f,g janë dy funksione të derivueshme  në një interval I, atëherë edhe prodhimi i tyre p=f∙g është i derivueshem në I dhe për çdo \displaystyle x\in I kemi:

\displaystyle {p}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)\cdot g\left( x \right)+f\left( x \right)\cdot g'\left( x \right).

Shkurt shkruajmë \displaystyle {p}'={f}'\cdot {g}'+f\cdot {g}'.

 

 

Keshille! Per shembuj te zgjidhur shikoni Ushtrime te zgjidhura – Derivate

 

Shembulli 2

Gjeni derivation e funksionit \displaystyle y=\left( {{x}^{2}}+2x \right)\cdot \left( 3x-5 \right) në pikën x dhe në pikën 0.

 

Zgjidhje

Bashkësia e përcaktimit të prodhimit është \displaystyle x\in R, ndaj funksioni është i derivueshem në R.

Për të gjetur derivatin e prodhimit, zbatojmë teoremën 2, duke e ndar funksionin në dy funksione.

Të dy funksionet e ndara janë funksione të thjeshta. Do të kemi:

\displaystyle f\left( x \right)={{x}^{2}}+2x, për çdo \displaystyle x\in R

\displaystyle g\left( x \right)=3x-5, për çdo \displaystyle x\in R.

Gjejmë derivatet:

\displaystyle f'\left( x \right)=2x+2

\displaystyle g'\left( x \right)=3

\displaystyle {p}'={f}'\cdot {g}'+f\cdot {g}'

\displaystyle {p}'=\left( 2x+2 \right)\cdot \left( 3x-5 \right)+\left( {{x}^{2}}+2x \right)\cdot 3

\displaystyle {p}'=6{{x}^{2}}-10x+6x-10+3{{x}^{2}}+6x

\displaystyle {p}'=9{{x}^{2}}+2x-10

 

Gjejmë derivatin e funksionit në pikën x=0

\displaystyle {p}'\left( 0 \right)=9\cdot {{0}^{2}}+2\cdot 0-10

\displaystyle {p}'\left( 0 \right)=-10

 

 

qese plastike

Rrjedhime të teoremës 2

Rrjedhim 1: Nëse funksioni f është i derivueshem në intervalin I dhe c është një konstante, atëherë funksioni c∙f është i derivueshem në intervalin I dhe \displaystyle \left( c\cdot f \right)'=c\cdot f'.

Rrjedhim 2: Nëse f është funksion i derivueshem në intervalin I dhe \displaystyle n\in N, atëherë \displaystyle {{f}^{n}} është funksion i derivueshem në intervalin I dhe derivati i tij është \displaystyle \left( {{f}^{n}} \right)'=n\cdot {{f}^{n-1}}\cdot f'.

 

 

 

Keshille! Per shembuj te zgjidhur shikoni Ushtrime te zgjidhura – Derivate

Derivati i raportit

Teoremë: Nëse funksionet f,g janë të derivueshme në intervalin I dhe për çdo \displaystyle x\in I kemi \displaystyle g\left( x \right)\ne 0, atëherë funksioni \displaystyle \frac{f}{g} është i derivueshem në I dhe \displaystyle \left( \frac{f}{g} \right)'=\frac{f'\cdot g-f\cdot g'}{{{g}^{2}}}.

 

 

 

Shembulli 3

Gjeni derivatin e funksionit \displaystyle y=\frac{x}{{{x}^{2}}-1} në pikën x dhe në pikën x=2.

Zgjidhje

Në fillim gjejmë bashkësinë e përcaktimit të funksionit:

\displaystyle {{x}^{2}}-1\ne 0

\displaystyle x\ne 1 dhe \displaystyle x\ne -1

 

Për të gjetur derivatin në pikën x zbatojmë teoremën:

\displaystyle \left( \frac{f}{g} \right)'=\frac{f'\cdot g-f\cdot g'}{{{g}^{2}}}

\displaystyle \left( \frac{x}{{{x}^{2}}-1} \right)'=\frac{x'\cdot \left( {{x}^{2}}-1 \right)-x\cdot \left( {{x}^{2}}-1 \right)'}{{{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{2}}}

\displaystyle \left( \frac{x}{{{x}^{2}}-1} \right)'=\frac{{{x}^{2}}-1-x\cdot 2x}{{{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{2}}}

\displaystyle \left( \frac{x}{{{x}^{2}}-1} \right)'=\frac{{{x}^{2}}-1-2{{x}^{2}}}{{{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{2}}}=\frac{1-{{x}^{2}}}{{{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{2}}}

 

Gjejmë derivatin e funksionit në pikën x=2

\displaystyle \left( \frac{f}{g} \right)'\left( 2 \right)=\frac{1-{{2}^{2}}}{{{\left( {{2}^{2}}-1 \right)}^{2}}}=\frac{-3}{9}=-\frac{1}{3}.

Keshille! Per shembuj te zgjidhur shikoni Ushtrime te zgjidhura – Derivate

qese plastike

Copyright © detyra.al
Postime te ngjashme:
  • Numrat e ThjeshteNumrat e Thjeshte
  • Numrat NatyroreNumrat Natyrore
  • Matematika 7Matematika 7
  • Integrimi me thyesa te pjeseshmeIntegrimi me thyesa te pjeseshme
  • MatematikaMatematika
  • Matematika BazeMatematika Baze
  • Matematika 11Matematika 11
  • Matematika 6Matematika 6
  • Derivative of sin^2(x)Derivative of sin^2(x)
  • Matematika 10Matematika 10
  • Provimi i lirimitProvimi i lirimit
  • Matematika 9Matematika 9
  • Thyesat AlgjebrikeThyesat Algjebrike
  • Formulat e VietesFormulat e Vietes
  • Matematika 8Matematika 8
  • Matematika 12Matematika 12
derivatderivatetderivatiDerivati i diferencesDerivati i prodhimitDerivati i raportitDerivati i shumesderivueshmeria

Kerko Mesime

Pages

  • Fizika
    • Fizika 7
  • Kimia
    • Kimia 8
    • Kimia 9
  • Kontakt
  • Kreu
  • Matura dhe provimi i lirimit

Sponcor Ju-Ar Plast Sh.P.K

Ju-Ar Plast Sh.P.K

Postime te ngjashme:

  • Matematika
  • Matematika 6
  • Provimi i lirimit
  • Matematika 11
  • Matematika 8
  • Matematika Baze
  • Matematika 9
  • Matematika 10
  • Matematika 12
  • Matematika 7

qese plastike

Ju-Ar Plast Sh.P.K

Na kontaktoni

Detyra.al është një platformë eduktaive online e cila vjen në ndihmë të nxënësve të klasave të 6-12 me leksione, ushtrime dhe teza provimesh.

Email: info@detyra.al