Detyra.Al Detyra.Al

  • Kreu
  • Matematika
    • Matematika 6
    • Matematika 7
    • Matematika 8
    • Matematika 9
    • Matematika 10
    • Matematika 11
    • Matematika 12
  • Fizika
  • Matematika Baze
  • Matura dhe provimi i lirimit
  • Kimia
    • Kimia 8
    • Kimia 9
Home / Derivatet e disa funksioneve te thjeshta. Diferenciali i funksionit

Derivatet e disa funksioneve te thjeshta. Diferenciali i funksionit

Derivatet e funksioneve te thjeshta

Derivatet e disa funksioneve te thjeshta

Për të gjetur derivatet e funksioneve të thjeshta, shikojmë teoremat me radhë:

Teorema 1: “Derivati i funksionit linear \displaystyle f:y=kx+h në çdo pikë \displaystyle x\in R është \displaystyle f'\left( x \right)=k”.

Rast i veçantë: Për funksionin \displaystyle f:y=x kemi, për çdo pikë \displaystyle x\in R, \displaystyle f'\left( x \right)=1.

 

Teorema 2: Derivati i funksionit konstant \displaystyle f:y=h, në çdo pikë x është zero.

Shënohet \displaystyle {{\left( h \right)}^{'}}=0.

qese plastike

Teorema 3: Derivati i funksionit të fuqisë së dytë \displaystyle f:y=a{{x}^{2}}+bx+c në çdo pikë \displaystyle x\in R është \displaystyle f'\left( x \right)=2ax+b.

Shënohet \displaystyle {{\left( a{{x}^{2}}+bx+c \right)}^{'}}=2ax+b.

 

Teorema 4: Derivati i funksionit \displaystyle f:y={{x}^{3}} në çdo pikë \displaystyle x\in R është \displaystyle f'\left( x \right)=3{{x}^{2}}. Shënohet \displaystyle \left( {{x}^{3}} \right)'=3{{x}^{2}}.

 

Teorema 5: Derivati i funksionit \displaystyle f:y=\frac{1}{x} në çdo pikë \displaystyle x\ne 0 është \displaystyle f'\left( x \right)=-\frac{1}{{{x}^{2}}}.

Shënohet \displaystyle {{\left( \frac{1}{x} \right)}^{'}}=-\frac{1}{{{x}^{2}}}.

 

Teorema 6: Në çdo pikë x>0 derivati i funksionit \displaystyle f:y=\sqrt{x} është \displaystyle f'\left( x \right)=\frac{1}{2\sqrt{x}}.

Shënohet \displaystyle {{\left( \sqrt{x} \right)}^{'}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.

Ky funksion nuk ka derivat në pikën x=0.

Kështu, ndonëse ai ka bashkësi përcaktimi \displaystyle \left[ 0,+\infty  \right[ ai ka derivat në çdo pikë të intervalit \displaystyle \left] 0,+\infty  \right[.

 

Keshille! Per shembuj te zgjidhur shikoni Ushtrime te zgjidhura – Derivate

 

Përkufizim:  “Funksioni që ka derivat në çdo pikë të një intervali I quhet i derivueshëm në intervalin I”.

 

 

 

Vazhdueshmëria e funksionit që ka derivat. Diferenciali i funksionit

Teoremë: “Në qoftë se funksioni f është i derivueshëm në pikën a, atëherë ai është i vazhdueshëm në pikën a”.

Fjalia e anasjelltë “funksioni i vazhdueshëm në pikën a është i derivueshëm në pikën a” nuk është teoremë. Pra, nga vazhdueshmëria nuk rrjedh domosdoshmërisht derivueshmëria e funksionit.

 

Përkufizim: “Prodhimi \displaystyle f'\left( a \right)\cdot h quhet diferencial i funksionit f në pikën a dhe shënohet me njërën nga shenjat \displaystyle df\left( a \right) ose \displaystyle dy\left( a \right)”.

Pra, \displaystyle df\left( a \right)=f'\left( a \right)\cdot h ose \displaystyle dy\left( a \right)=f'\left( a \right)\cdot h.

Nëse f është i derivueshëm në pikën e çfarëdoshme x të intervalit I, atëherë \displaystyle df\left( a \right)=f'\left( a \right)\cdot h ose \displaystyle dy\left( a \right)=f'\left( a \right)\cdot h.

 

Keshille! Per shembuj te zgjidhur shikoni Ushtrime te zgjidhura – Derivate

 

Shembull 1

Të gjendet diferenciali i funksionit \displaystyle f:y={{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+4x+1 në pikën x dhe në pikën x=1.

 

Zgjidhje

Gjejmë \displaystyle f'\left( x \right):

\displaystyle f'\left( x \right)=3{{x}^{2}}+4x+4.

Gjejmë \displaystyle f'\left( 1 \right):

\displaystyle f'\left( 1 \right)=3+4+4=11.

Tani gjejmë diferencialin e funksionit në pikën x dhe në pikën x=1:

\displaystyle df\left( x \right)=f'\left( a \right)\cdot h

\displaystyle df\left( x \right)=\left( 3{{x}^{2}}+4x+4 \right)\cdot dx

\displaystyle df\left( 1 \right)=11\cdot dx

 

 

qese plastike

 

Ushtrime te zgjidhura – Derivatet e funksioneve te thjeshta

 

Ushtrimi 1

Gjeni derivatet në pikën x për funksionet:

a) \displaystyle a)y=\sqrt{5}

b) \displaystyle a)y=2+2x

c) \displaystyle a)y=\frac{3x+6}{9}

d) \displaystyle a)y=3{{x}^{2}}+2x

e) \displaystyle a)y={{x}^{2}}-2x+1

f) \displaystyle a)y=\frac{1-{{x}^{2}}}{2}

 

Zgjidhje

a) \displaystyle a)y=\sqrt{5}

\displaystyle {{\left( \sqrt{5} \right)}^{'}}=\frac{1}{2\sqrt{5}}

 

b) \displaystyle a)y=2+2x

\displaystyle {{\left( 2+2x \right)}^{'}}=0+2=2

 

c) \displaystyle a)y=\frac{3x+6}{9}

\displaystyle {{\left( \frac{3x+6}{9} \right)}^{'}}={{\left( \frac{3x}{9}+\frac{6}{9} \right)}^{'}}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}

 

d) \displaystyle a)y=3{{x}^{2}}+2x

\displaystyle {{\left( 3{{x}^{2}}+2x \right)}^{'}}=6x+2

e)\displaystyle a)y={{x}^{2}}-2x+1

\displaystyle {{\left( {{x}^{2}}-2x+1 \right)}^{'}}=2x-2

 

 

f) \displaystyle a)y=\frac{1-{{x}^{2}}}{2}

\displaystyle {{\left( \frac{1-{{x}^{2}}}{2} \right)}^{'}}={{\left( \frac{1}{2}-\frac{{{x}^{2}}}{2} \right)}^{'}}={{\left( -\frac{1}{2}{{x}^{2}} \right)}^{'}}=-x

 

Keshille! Per me shume shembuj te zgjidhur shikoni Ushtrime te zgjidhura – Derivate

 

Ushtrimi 2

Jepet funksioni \displaystyle y=\frac{1}{2}{{x}^{2}}-5x-5.

a) Gjeni derivatin e tij në pikën x.

b) Gjeni derivatin e tij në pikën x=1.

c) Për ç’vlera të x kemi \displaystyle y'=y?

 

Zgjidhje

a) \displaystyle y'={{\left( \frac{1}{2}{{x}^{2}}-5x-5 \right)}^{'}}

\displaystyle y'=x-5

 

b) \displaystyle y'\left( 1 \right)=1-5=-4

 

c) Barazojmë ekuacionin:

\displaystyle y'=y

\displaystyle \frac{1}{2}{{x}^{2}}-5x-5=x-5

\displaystyle \frac{1}{2}{{x}^{2}}-5x-x=0

\displaystyle \frac{1}{2}{{x}^{2}}-6x=0

\displaystyle {{x}^{2}}-12x=0

\displaystyle x\left( x-12 \right)=0

Pra, x=0 ose x=12.

 

 

 

Ushtrimi 3

Zgjidhni inekuacionin \displaystyle f'\left( x \right)>f\left( x \right) nëse f jepet \displaystyle y=2{{x}^{2}}-30

 

Zgjidhje

Gjejmë në fillim \displaystyle f'\left( x \right):

\displaystyle f'\left( x \right)=4x

Tani formojmë inekuacionin:

\displaystyle 4x>2{{x}^{2}}-30

\displaystyle 4x-2{{x}^{2}}+30>0

\displaystyle 2{{x}^{2}}-4x-30<0 \displaystyle {{x}^{2}}-2x-15<0   Studiojmë shenjën e inekuacionit duke e zgjidhur atë: \displaystyle {{x}^{2}}-2x-15=0 \displaystyle D=4+60=64 \displaystyle _{1}{{x}_{2}}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a} \displaystyle _{1}{{x}_{2}}=\frac{2\pm 8}{2} \displaystyle {{x}_{1}}=-3 \displaystyle {{x}_{2}}=5   Pra, siç duket nga studimi i shenjës, për vlerat \displaystyle x\in \left] -3,5 \right[ kemi \displaystyle f'\left( x \right)>f\left( x \right).

Keshille! Per me shume shembuj te zgjidhur shikoni Ushtrime te zgjidhura – Derivate

qese plastike

Copyright © detyra.al
Postime te ngjashme:
  • Formulat e VietesFormulat e Vietes
  • Derivative of sin^2(x)Derivative of sin^2(x)
  • Matematika 9Matematika 9
  • Matematika 7Matematika 7
  • Provimi i lirimitProvimi i lirimit
  • Integrimi me thyesa te pjeseshmeIntegrimi me thyesa te pjeseshme
  • Numrat NatyroreNumrat Natyrore
  • Numrat e ThjeshteNumrat e Thjeshte
  • PesekendeshatPesekendeshat
  • Matematika 11Matematika 11
  • Thyesat AlgjebrikeThyesat Algjebrike
  • Matematika 12Matematika 12
  • Matematika 6Matematika 6
  • Matematika 8Matematika 8
  • MatematikaMatematika
  • Matematika 10Matematika 10
Derivatet e disa funksioneve te thjeshtaDerivatet e funksioneve te thjeshtaDiferenciali i funksionitushtrime te zgjidhura matematikevazhdueshmeria e funksionit

Kerko Mesime

Pages

  • Fizika
    • Fizika 7
  • Kimia
    • Kimia 8
    • Kimia 9
  • Kontakt
  • Kreu
  • Matura dhe provimi i lirimit

Sponcor Ju-Ar Plast Sh.P.K

Ju-Ar Plast Sh.P.K

Postime te ngjashme:

  • Matematika 7
  • Matematika 9
  • Matematika
  • Matematika 6
  • Matematika 10
  • Matematika 12
  • Provimi i lirimit
  • Matematika Baze
  • Matematika 11
  • Matematika 8

qese plastike

Ju-Ar Plast Sh.P.K

Na kontaktoni

Detyra.al është një platformë eduktaive online e cila vjen në ndihmë të nxënësve të klasave të 6-12 me leksione, ushtrime dhe teza provimesh.

Email: info@detyra.al