Detyra.Al Detyra.Al

  • Kreu
  • Matematika
    • Matematika 6
    • Matematika 7
    • Matematika 8
    • Matematika 9
    • Matematika 10
    • Matematika 11
    • Matematika 12
  • Fizika
  • Matematika Baze
  • Matura dhe provimi i lirimit
  • Kimia
    • Kimia 8
    • Kimia 9
Home / Derivati i nje funksioni

Derivati i nje funksioni

Feature - derivati i nje funksioni

Derivati i nje funksioni

Përkufizim: Derivat i një funksioni f në pikën a quhet limiti \displaystyle \underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( a+h \right)-f\left( a \right)}{h}, në rast se ky limit ekziston.

Ai shënohet \displaystyle f'\left( a \right).

Pra, sipas përkufizimit, derivati i funksionit shkruhet:

\displaystyle f'\left( a \right)=\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( a+h \right)-f\left( a \right)}{h}.

Kur funksioni ka derivate në pikën a, ai quhet i derivueshëm në pikën a.

 

qese plastike

Keshille! Per shembuj te zgjidhur shikoni Ushtrime te zgjidhura – Derivate

Shembulli 1

Të gjëndet derivati i funksionit \displaystyle f:y={{x}^{2}}, në pikën x=2.

 

Zgjidhje

Nga përkufizimi dimë që \displaystyle f'\left( a \right)=\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( a+h \right)-f\left( a \right)}{h}.

Gjejmë fillimisht f(2):

\displaystyle f\left( 2 \right)={{2}^{2}}=4.

Gjejmë f(2+h):

\displaystyle f\left( 2+h \right)={{\left( 2+h \right)}^{2}}

\displaystyle =4+4h+{{h}^{2}}

Gjejmë \displaystyle \frac{f\left( 2+h \right)-f\left( 2 \right)}{h}:

\displaystyle \frac{f\left( 2+h \right)-f\left( 2 \right)}{h}=\frac{4+4h+{{h}^{2}}-4}{h}

\displaystyle =\frac{4h+{{h}^{2}}}{h}=4+h

Gjejmë \displaystyle \underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( 2+h \right)-f\left( 2 \right)}{h}:

\displaystyle \underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( 2+h \right)-f\left( 2 \right)}{h}\underset{h\to 0}{\mathop{=\lim }}\,4+h=4.

Pra, \displaystyle f'\left( 2 \right)=4.

 

Keshille! Per shembuj te zgjidhur shikoni Ushtrime te zgjidhura – Derivate



Mënyrë tjetër për gjetjen e derivatit

I rikthehemi përkufizimit të derivatit f në pikën a:

\displaystyle f'\left( a \right)=\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( a+h \right)-f\left( a \right)}{h}.

Shënojmë \displaystyle a+h=x, dmth \displaystyle h=x-a. kuptohet që kushti \displaystyle h\to 0 është i njëvlershëm me kushtin \displaystyle x\to a, kurse raporti \displaystyle \frac{f\left( a+h \right)-f\left( a \right)}{h} shkruhet \displaystyle \frac{f\left( x \right)-f\left( a \right)}{x-a}.

Arrijmë në përfundimin:

“Funksioni f është i dervueshëm në pikën a vetëm atëherë kur ekziston \displaystyle \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( a \right)}{x-a}”.

Në këtë rast ky limit jep gjithashtu \displaystyle f'\left( a \right).

 

 

 

 

Shembulli 2

Gjeni derivatin e funksionit \displaystyle f:y=2x-1 në pikën a, në rast se a=2.

 

Zgjidhje

Kemi \displaystyle f\left( x \right)=2x-1 dhe \displaystyle f\left( a \right)=2a-1.

Prandaj shkruajmë:

\displaystyle \underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( 2x-1 \right)-\left( 2a-1 \right)}{x-a}

\displaystyle =\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x-1-2a+1}{x-a}

\displaystyle =\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x-2a}{x-a}=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{2\left( x-a \right)}{x-a}=2

Pra, \displaystyle f'\left( 2 \right)=2.

qese plastike

 

Ushtrime të zgjidhura

Ushtrimi 1

Të gjendet derivati i funksionit \displaystyle y=\frac{6}{x} në pikën x=2.

 

Zgjidhje

Nga përkufizimi shkruajmë:

\displaystyle \underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( a+h \right)-f\left( a \right)}{h}

\displaystyle f\left( 2 \right)=\frac{6}{2}=3

\displaystyle f\left( 2+h \right)=\frac{6}{2+h}

\displaystyle \underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( 2+h \right)-f\left( 2 \right)}{h}

\displaystyle =\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{6}{2+h}-3}{h}

\displaystyle =\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{6}{2+h}-\frac{6+3h}{2+h}}{h}

\displaystyle =\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{-3h}{2+h}}{h}

\displaystyle =\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{-3}{2+h}=-\frac{3}{2}.

Pra, \displaystyle f'\left( 2 \right)=-\frac{3}{2}.

 

 

Keshille! Per me shume shembuj te zgjidhur shikoni Ushtrime te zgjidhura – Derivate

Ushtrimi 2

Të gjendet sipas përkufizimit derivati i funksionit f në pikën a, nëse:

a) \displaystyle f:y=-{{x}^{2}} dhe a=5.

b) \displaystyle f:y={{x}^{2}}-x dhe a=0.

c) \displaystyle f:y={{x}^{2}}+x+1 dhe a=-1.

Zgjidhje

a) Nga përkufizimi kemi:

\displaystyle f'\left( a \right)=\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( a \right)}{x-a}.

Kemi \displaystyle f\left( x \right)=-{{x}^{2}} dhe \displaystyle f\left( a \right)=-{{a}^{2}}.

Shkruajmë:

\displaystyle f'\left( 5 \right)=\frac{-{{x}^{2}}-\left( {{a}^{2}} \right)}{x-a}

\displaystyle f'\left( 5 \right)=\underset{x\to 5}{\mathop{\lim }}\,\frac{-{{x}^{2}}-\left( -{{a}^{2}} \right)}{x-a}

\displaystyle =\underset{x\to 5}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}{-\left( a-x \right)}

\displaystyle =\underset{x\to 5}{\mathop{\lim }}\,-\left( a+x \right)=-10

 

 

b) Kemi \displaystyle f\left( x \right)={{x}^{2}}-x dhe \displaystyle f\left( a \right)={{a}^{2}}-a.

Shkruajmë:

\displaystyle f'\left( 0 \right)=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-x-\left( {{a}^{2}}-a \right)}{x-a}

\displaystyle =\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}-\left( x-a \right)}{x-a}

\displaystyle =\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( x-a \right)\left( x+a-1 \right)}{x-a}

\displaystyle =\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,x+a-1=-1

 

 

c) Kemi \displaystyle f\left( x \right)={{x}^{2}}+x+1 dhe \displaystyle f\left( a \right)={{a}^{2}}+a+1.

Shkruajmë:

\displaystyle f'\left( -1 \right)=\underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}+x+1-\left( {{a}^{2}}+a+1 \right)}{x-a}

\displaystyle =\underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( {{x}^{2}}-{{a}^{2}} \right)+\left( x-a \right)}{x-a}

\displaystyle =\underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( x-a \right)\left( x+a+1 \right)}{x-a}

\displaystyle =\underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,x+a+1=-1

Keshille! Per me shume shembuj te zgjidhur shikoni Ushtrime te zgjidhura – Derivate

qese plastike

Copyright © detyra.al
Postime te ngjashme:
  • Matematika 9Matematika 9
  • MatematikaMatematika
  • Matematika 12Matematika 12
  • Numrat NatyroreNumrat Natyrore
  • Formulat e VietesFormulat e Vietes
  • Matematika 6Matematika 6
  • Matematika 10Matematika 10
  • Matematika BazeMatematika Baze
  • Matematika 7Matematika 7
  • Thyesat AlgjebrikeThyesat Algjebrike
  • Provimi i lirimitProvimi i lirimit
  • Integrimi me thyesa te pjeseshmeIntegrimi me thyesa te pjeseshme
  • Numrat e ThjeshteNumrat e Thjeshte
  • Derivative of sin^2(x)Derivative of sin^2(x)
  • Matematika 11Matematika 11
  • Matematika 8Matematika 8
derivatiderivati i nje funksionigjetja e derivatitmatematika 12maturamenyra per gjetjen e derivatitMënyrë tjetër për gjetjen e deivatitushtrime per matureushtrime te zgjidhura me derivat

Kerko Mesime

Pages

  • Fizika
    • Fizika 7
  • Kimia
    • Kimia 8
    • Kimia 9
  • Kontakt
  • Kreu
  • Matura dhe provimi i lirimit

Sponcor Ju-Ar Plast Sh.P.K

Ju-Ar Plast Sh.P.K

Postime te ngjashme:

  • Matematika
  • Matematika 11
  • Matematika Baze
  • Matematika 9
  • Matematika 6
  • Matematika 10
  • Matematika 8
  • Provimi i lirimit
  • Matematika 12
  • Matematika 7

qese plastike

Ju-Ar Plast Sh.P.K

Na kontaktoni

Detyra.al është një platformë eduktaive online e cila vjen në ndihmë të nxënësve të klasave të 6-12 me leksione, ushtrime dhe teza provimesh.

Email: info@detyra.al