Detyra.Al Detyra.Al

  • Kreu
  • Matematika
    • Matematika 6
    • Matematika 7
    • Matematika 8
    • Matematika 9
    • Matematika 10
    • Matematika 11
    • Matematika 12
  • Fizika
  • Matematika Baze
  • Matura dhe provimi i lirimit
  • Kimia
    • Kimia 8
    • Kimia 9
Home / Limitet e njeanshme

Limitet e njeanshme

Limitet e funksioneve i kemi trajtuar në klasën e 11-të.

Le të kemi një funksion të përcaktuar në \displaystyle \left] a,b \right[

Përkufizim 1: “Numri l quhet limit i djathtë i funksionit f kur x\to a, nëse \displaystyle |f\left( x \right)-l| bëhet sat ë duam ne e vogël, me kusht që të shqyrtohen vlera të \displaystyle x>a, mjaft afër a”.

Më saktë, numri \displaystyle l quhet limit i djathtë i funksionit f kur \displaystyle x\to a nëse sidoqoftë numri \displaystyle \varepsilon >0, gjejmë një numër pozitiv r, të tillë që për \displaystyle x\in \left] a,a+r \right[ të kemi \displaystyle |f\left( x \right)-l|<\varepsilon. Shënohet \displaystyle \underset{x\to {{a}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=l.     Le të kemi një funksion të përcaktuar në \displaystyle \left] c,a \right[. Përkufizim 2: “Numri \displaystyle l quhet limit i majtë i funksionit f kur \displaystyle x\to a, nëse diferenca \displaystyle |f\left( x \right)-l| bëhet sat ë duam ne e vogël, nëse zgjidhen vlera të x<a, mjaft afër a”.

Më saktë, numri \displaystyle l quhet limit i majtë funksionit f kur \displaystyle x\to a nëse sidoqoftë numri \displaystyle \varepsilon >0, gjejmë një numër pozitiv r, të tillë që për \displaystyle x\in \left] a-r,a \right[ të kemi \displaystyle |f\left( x \right)-l|<\varepsilon. Shënojmë \displaystyle \underset{x\to {{a}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=l.      

Ushtrimi 1

Gjeni limitet e njëanëshme të funksionit

limite te njeaneshme

Zgjidhje

Gjejmë limitin e djathtë të funksionit kur \displaystyle x\to 1:

\displaystyle \underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,{{x}^{2}}={{1}^{2}}=1

 

Gjejmë limitin e majtë të funksionit kur \displaystyle x\to 1:

\displaystyle \underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,2x=2\cdot 1=2.

 

Në këtë rast kemi që limitet e njëanëshme kanë vlera të ndryshme.

 

Përkufizim 3: “Funksioni f ka limit \displaystyle l kur \displaystyle x\to a, atëherë dhe vetëm atëherë kur limitet e njëanëshme, kur \displaystyle x\to a, ekzistojnë dhe janë të barabarta me l”.

 

 

 

Ushtrime te zgjidhura

 

Ushtrimi 1

Gjeni limitet e njëanëshme te funksioneve më poshtë.

 

Zgjidhje

a) \displaystyle \underset{x\to -{{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,{{x}^{2}}-1={{\left( -1 \right)}^{2}}-1=0

\displaystyle \underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,{{x}^{2}}+1={{\left( -1 \right)}^{2}}+1=2

 

b) \displaystyle \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\sin x+\cos x=0+1=1

\displaystyle \underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,2x+1=2\cdot 0+1=1

Në këtë rast shkruajmë:

\displaystyle \underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,2x+1=\underset{x\to 0+}{\mathop{\lim }}\,\sin x+\cos x=1

 

 

 

 

 

Ushtrimi 2

Gjeni vlerën e a që funksionet e mëposhtme të kenë limit kur \displaystyle x\to 1.

limitet

Zgjidhje

a) Meqë funksionet kanë limit kur \displaystyle x\to 1, atëherë duhet të barazojmë limitet e njëanëshme dhe të gjejmë vlerën e a-së.

\displaystyle \underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,2x-4=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,ax~.

Gjejmë limitin e djathtë:

\displaystyle \underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,2x-4=2-4=-2.

Barazojmë limitin e majtë me vlerën që gjetëm:

\displaystyle \underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,ax~=-2\Rightarrow a=2

 

 

b) Në të njëjtën mënyrë veprojmë dhe për këtë rast:

\displaystyle \underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,{{x}^{2}}+1=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,a~

\displaystyle \underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,{{x}^{2}}+1=1+1=2

\displaystyle \underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,a~=2\Rightarrow a=2

Copyright © detyra.al
Postime te ngjashme:
  • Ndryshesa e katroreve. FaktorizimeNdryshesa e katroreve. Faktorizime
  • Teza e Matematikes, Matura 2018 (alternativa)Teza e Matematikes, Matura 2018 (alternativa)
  • Prodhimi kartezianProdhimi kartezian
  • Integrali i pacaktuarIntegrali i pacaktuar
  •  Prerja dhe bashkimi i bashkesive Prerja dhe bashkimi i bashkesive
  • Krahasimi i funksioneve numerike. Veprime me funksionet numerikeKrahasimi i funksioneve numerike. Veprime me…
  • Trajta standarte e numrit. Fuqite me eksponent te ploteTrajta standarte e numrit. Fuqite me eksponent te plote
  • Formulat e VietesFormulat e Vietes
  • Ekuacioni eksponencial dhe logaritmikEkuacioni eksponencial dhe logaritmik
  • Identitetet trigonometrike | Formula themeloreIdentitetet trigonometrike | Formula themelore
  • Radha e veprimeve ne nje shprehjeRadha e veprimeve ne nje shprehje
  • Monotonia. Funksioni rrites dhe zbritesMonotonia. Funksioni rrites dhe zbrites
  • KombinacionetKombinacionet
  • Ushtrime te zgjidhura - Radha e veprimeve ne nje shprehjeUshtrime te zgjidhura - Radha e veprimeve ne nje shprehje
  • Shumezimi i vektorit me nje numerShumezimi i vektorit me nje numer
  • Ekuacioni i fuqise se dyte me nje ndryshoreEkuacioni i fuqise se dyte me nje ndryshore
limit i njeanshemlimite te njeanshmelimitet e njeaneshmelimitet e njeanshmelimiti

Pages

  • Fizika
    • Fizika 7
  • Kimia
    • Kimia 8
    • Kimia 9
  • Kontakt
  • Kreu
  • Matura dhe provimi i lirimit

Postime te ngjashme:

  • 31 thenie nga Nene Tereza
  • Ligjet e Merfit per punen
  • Fizika 7
  • Matematika 12
  • Matematika 6
  • Matematika Baze
  • Fizika
  • Matematika 7
  • Kimia 8
  • Matematika 8

Na kontaktoni

Detyra.al është një platformë eduktaive online e cila vjen në ndihmë të nxënësve të klasave të 6-12 me leksione, ushtrime dhe teza provimesh.

Email: info@detyra.al