Limitet e funksioneve i kemi trajtuar në klasën e 11-të.
Le të kemi një funksion të përcaktuar në
Përkufizim 1: “Numri quhet limit i djathtë i funksionit f kur , nëse bëhet sat ë duam ne e vogël, me kusht që të shqyrtohen vlera të , mjaft afër a”.
Më saktë, numri quhet limit i djathtë i funksionit f kur nëse sidoqoftë numri , gjejmë një numër pozitiv r, të tillë që për të kemi . Shënohet . Le të kemi një funksion të përcaktuar në . Përkufizim 2: “Numri quhet limit i majtë i funksionit f kur , nëse diferenca bëhet sat ë duam ne e vogël, nëse zgjidhen vlera të x<a, mjaft afër a”.
Më saktë, numri quhet limit i majtë funksionit f kur nëse sidoqoftë numri , gjejmë një numër pozitiv r, të tillë që për të kemi . Shënojmë .
Ushtrimi 1
Gjeni limitet e njëanëshme të funksionit
Zgjidhje
Gjejmë limitin e djathtë të funksionit kur :
Gjejmë limitin e majtë të funksionit kur :
.
Në këtë rast kemi që limitet e njëanëshme kanë vlera të ndryshme.
Përkufizim 3: “Funksioni f ka limit kur , atëherë dhe vetëm atëherë kur limitet e njëanëshme, kur , ekzistojnë dhe janë të barabarta me l”.
Ushtrime te zgjidhura
Ushtrimi 1
Gjeni limitet e njëanëshme te funksioneve më poshtë.
Zgjidhje
a)
b)
Në këtë rast shkruajmë:
Ushtrimi 2
Gjeni vlerën e a që funksionet e mëposhtme të kenë limit kur .
Zgjidhje
a) Meqë funksionet kanë limit kur , atëherë duhet të barazojmë limitet e njëanëshme dhe të gjejmë vlerën e a-së.
.
Gjejmë limitin e djathtë:
.
Barazojmë limitin e majtë me vlerën që gjetëm:
b) Në të njëjtën mënyrë veprojmë dhe për këtë rast: