Ushtrime me katrorin e binomit dhe diferencen e katroreve

Pasi kemi trajtuar temat mbi katrorin e binomit dhe diferencën e katroreve, do të zgjidhim disa ushtrime.

Ushtrimi 1

Paraqitini në trajtë polinomi shprehjet:

a) $\displaystyle {{\left( x+4 \right)}^{2}}+5$ b

b) $\displaystyle 4-{{\left( 2-x \right)}^{2}}$

c) $\displaystyle {{\left( x+3 \right)}^{2}}-\left( x-3 \right)\left( x+3 \right)$

d) $\displaystyle {{\left( x+5 \right)}^{2}}-\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)$

Zgjidhje
(pika a dhe b)

a) $\displaystyle {{\left( x+4 \right)}^{2}}+5$

Në fillim zbërthejmë katrorin e binomit:

$\displaystyle =\left( {{x}^{2}}+8x+16 \right)+5$

Përdorim vetinë e shoqërimit të mbledhjes dhe reduktojmë kufizat e ngjashme:

$\displaystyle ={{x}^{2}}+8x+21$

b) $\displaystyle 4-{{\left( 2-x \right)}^{2}}$

Në të njëjtën mënyrë veprojmë dhe për pikat e tjera:

$\displaystyle =4-\left( 4-4x+{{x}^{2}} \right)$

$\displaystyle =4x-{{x}^{2}}$

Ushtrimi 2

Paraqitini si polinom:

a) $\displaystyle {{\left( x+5 \right)}^{2}}$

b) $\displaystyle {{\left( x-6 \right)}^{2}}$

c) $\displaystyle {{\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)}^{2}}$

d) $\displaystyle {{\left( 2x+7 \right)}^{2}}$

Zgjidhje
(pika a dhe b)

a) $\displaystyle {{\left( x+5 \right)}^{2}}$

Zbërthejmë katrorin e binomit:

$\displaystyle ={{x}^{2}}+10x+25$

b) $\displaystyle {{\left( x-6 \right)}^{2}}$

Zbërthejmë katrorin e binomit:

$\displaystyle {{\left( x-6 \right)}^{2}}={{x}^{2}}-12x+36$

Ushtrimi 3

Zgjidhni ekuacionin:

a) $\displaystyle {{\left( 2x+5 \right)}^{2}}-{{\left( 2x-5 \right)}^{2}}=10$

b) $\displaystyle {{\left( 2x+3 \right)}^{2}}-\left( 2x-3 \right)\left( 2x+3 \right)=2\left( 3x-5 \right)$

Zgjidhje

a) $\displaystyle {{\left( 2x+5 \right)}^{2}}-{{\left( 2x-5 \right)}^{2}}=10$

Në fillim e kthejmë si diferencë katrori polinomin:

$\displaystyle \left[ \left( 2x+5 \right)-\left( 2x-5 \right) \right]\left[ \left( 2x+5 \right)+\left( 2x-5 \right) \right]$ $\displaystyle =10$

Zbatojmë vetinë e shoqërimit dhe reduktojmë kufizat e ngjashme:

$\displaystyle 10\cdot 4x=10$

$\displaystyle 40x=10$

$\displaystyle x=\frac{1}{4}$

b) $\displaystyle {{\left( 2x+3 \right)}^{2}}-\left( 2x-3 \right)\left( 2x+3 \right)=2\left( 3x-5 \right)$

Faktorizojmë 2x+3:

$\displaystyle \left( 2x+3 \right)\left[ \left( 2x+3 \right)-\left( 2x-3 \right) \right]=6x-10$

Zbatojmë vetinë e shoqërimit dhe reduktojmë kufizat e ngjashme:

$\displaystyle \left( 2x+3 \right)\cdot 6=6x-10$

Zbatojmë vetinë e përdasisë së shumëzimit:

$\displaystyle 12x+18=6x-10$

$\displaystyle 12x-6x=-10-18$

$\displaystyle x=\frac{-28}{6}$

$\displaystyle x=-\frac{14}{3}$

Ushtrimi 4

Vërtetoni që vlera e shprehjes nuk varet nga x.

a) $\displaystyle {{\left( x+7 \right)}^{2}}-\left( x-5 \right)\left( x+19 \right)$

b) $\displaystyle {{\left( x+9 \right)}^{2}}+\left( 8-x \right)\left( x+26 \right)$

Zgjidhje
(pika a)

a) $\displaystyle {{\left( x+7 \right)}^{2}}-\left( x-5 \right)\left( x+19 \right)$

E kthejmë shprehjen në polinom:

$\displaystyle ={{x}^{2}}+14x+49-{{x}^{2}}+19x-5x-95$

Grupojmë kufizat e ngjashme:

$\displaystyle =\left( {{x}^{2}}-{{x}^{2}} \right)+\left( 14x+19x-5x \right)-95$

Kryejmë veprimet:

$\displaystyle =0+0-95$

$\displaystyle =-95$

Vërtetuam që shprehja nuk varet nga x sepse pas thjeshtimeve nuk kemi asnjë ndryshore x.

Ushtrimi 5

Vërtetoni identitetin:

a) $\displaystyle \left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}+2x+4 \right)={{x}^{3}}-8$

b) $\displaystyle \left( x+3 \right)\left( x-3 \right)\left( {{x}^{2}}+9 \right)={{x}^{4}}-81$

Zgjidhje
(pika a)

a) $\displaystyle \left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}+2x+4 \right)={{x}^{3}}-8$

Për të vërtetuar identitetin, kryejmë veprimet në krahun e majtë të shprehjes. Zbatojmë vetinë e përdasisë:

$\displaystyle ={{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+4x-2{{x}^{2}}-4x-8$

Reduktojmë kufizat e ngjashme:

$\displaystyle {{x}^{3}}-8$

Identiteti u vërtetua.

Ushtrimi 6

Zbërtheni në faktorë:

a) $\displaystyle {{x}^{2}}-14x+49$

b) $\displaystyle 9{{x}^{2}}+30x+25$

c) $\displaystyle 4{{x}^{2}}-12x+9$

Zgjidhje
(pika a)

a) $\displaystyle {{x}^{2}}-14x+49$

Vëmë re se kufiza e parë është katror i x, ndërsa kufiza e tretë është katror i numrit 7. Kufiza e dytë është dyfishi i prodhimit të x me 7. Pra, ky prodhim mund të shkruhet si katror binomi:

$\displaystyle ={{\left( x-7 \right)}^{2}}$

Në të njëjtën mënyrë veprohet dhe për rastet e tjera.

Ushtrimi 7

Zbërtheni në faktorë:

a) $\displaystyle 25-{{x}^{2}}$

b) $\displaystyle {{a}^{2}}-4$

c) $\displaystyle {{x}^{2}}{{y}^{2}}-36$

Zgjidhje

a) $\displaystyle 25-{{x}^{2}}$

Numrin 25 mund ta shkruajmë si fuqi të dyshit:

$\displaystyle ={{5}^{2}}-{{x}^{2}}$

Këtë polinom mund ta shkruajmë si diferencë katrori:

$\displaystyle =\left( 5-x \right)\left( 5+x \right)$

b) $\displaystyle {{a}^{2}}-4$

E zgjidhim njësoj si në rastin e pikës a:

$\displaystyle ={{a}^{2}}-{{2}^{2}}$

$\displaystyle =\left( a-2 \right)\left( a+2 \right)$

c) $\displaystyle {{x}^{2}}{{y}^{2}}-36$

E zgjidhim njësoj si në rastin e pikës a:

$\displaystyle ={{x}^{2}}{{y}^{2}}-{{6}^{2}}$

$\displaystyle =\left( xy-6 \right)\left( xy+6 \right)$ c

Ushtrimi 8

Zbërtheni në faktorë:

a) $\displaystyle {{x}^{2}}+2xy+{{y}^{2}}-16$

b) $\displaystyle {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2ab-9$

Zgjidhje

a) $\displaystyle {{x}^{2}}+2xy+{{y}^{2}}-16$

Në fillim i grupojmë kufizat:

$\displaystyle \left( {{x}^{2}}+2xy+{{y}^{2}} \right)-16$

Shprehjet në kllapa e shkruajmë si katror binomit, ndërsa 16 si fuqi të dyshit:

$\displaystyle ={{\left( x+y \right)}^{2}}-{{4}^{2}}$

Tani shprehja na u kthye si ndryshesë katrorësh. Do të kemi:

$\displaystyle =\left( x+y-4 \right)\left( x+y+4 \right)$

b) $\displaystyle {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2ab-9$

Në të njëjtën mënyrë veprojmë dhe në këtë rast:

$\displaystyle ={{\left( a-b \right)}^{2}}-{{3}^{2}}$

$\displaystyle =\left( a-b-3 \right)\left( a-b+3 \right)$

Ushtrimi 1

Zgjidhje (pika a dhe b)

Ushtrimi 2

Zbërthejmë katrorin e binomit:

Ushtrimi 3

Zgjidhje

Ushtrimi 4

Zgjidhje (pika a)

Ushtrimi 5

Zgjidhje (pika a)

Ushtrimi 6

Zgjidhje (pika a)

Ushtrimi 7

Zgjidhje

Ushtrimi 8

Zgjidhje

Zgjidhje
(pika a dhe b)

Zgjidhje
(pika a)

Zgjidhje
(pika a)

Zgjidhje
(pika a)