Vlerat e funksioneve trigonometrike te kendeve 0º-90º

Funksionet trigonometrike te kendeve 30º; 45º dhe 60º

a) Në trekëndëshin kënddrejtë ABC jepen $\displaystyle \angle BAC=\alpha =30{}^\text{o}$ dhe $\displaystyle \angle ABC=\alpha =60{}^\text{o}$ .

Kemi c= 2a, sepse ne dimë që kateti që ndodhet përballë këndit 30º është sa gjysma e hipotenuzës.

Me anë të teoremës së Pitagorës gjejmë:

$\displaystyle {{b}^{2}}={{c}^{2}}-{{a}^{2}}$

$\displaystyle {{b}^{2}}=4{{a}^{2}}-{{a}^{2}}=3{{a}^{2}}$

$\displaystyle b=\sqrt{3{{a}^{2}}}=a\sqrt{3}$ .

Tani gjejmë funksionet trigonometrike të këndit 30º.

$\displaystyle \sin 30{}^\text{o}=\frac{a}{c}=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}$ .

$\displaystyle \cos 30{}^\text{o}=\frac{b}{c}=\frac{a\sqrt{3}}{2a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\displaystyle tg30{}^\text{o}=\frac{a}{b}=\frac{a}{a\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

$\displaystyle \cot30{}^\text{o}=\frac{b}{a}=\frac{a\sqrt{3}}{a}=\sqrt{3}$

Këndi $\displaystyle \beta$ është 60º dhe është plotësuesi i këndit 30º. Sipas varësisë së këndeve plotësuese shkruajmë:

$\displaystyle \sin 60{}^\text{o}=\cos 30{}^\text{o}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\displaystyle \cos 60{}^\text{o}=\sin 30{}^\text{o}=\frac{1}{2}$

$\displaystyle tg60{}^\text{o}=\cot30=\sqrt{3}$

$\displaystyle \cot60{}^\text{o}=tg30{}^\text{o}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

b) Në trekëndëshin kënddrejtë ABC jepen $\displaystyle \alpha =\beta =45{}^\text{o}$ .

Trekëndëshi ABC është trekëndësh dybrinjëshëm sepse këndet në bazë janë të barabartë, pra b=a.

Me anë të teoremës së Pitagorës gjejmë hipotenuzën c:

$\displaystyle {{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}=2{{a}^{2}}$

$\displaystyle c=\sqrt{2{{a}^{2}}}=a\sqrt{2}$

Tani gjejmë funksionet trigonometrike të këndit 45º.

$\displaystyle \sin {{45}^{\text{o}}}=\frac{a}{c}=\frac{a}{a\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\displaystyle \cos 45{}^\text{o}=\frac{b}{c}=\frac{a}{a\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\displaystyle tg45{}^\text{o}=\frac{a}{b}=\frac{a}{a}=1$

$\displaystyle cot45{}^\text{o}=\frac{b}{a}=\frac{a}{a}=1$

Përfundimet e gjetura i hedhim në tabelën e mëposhtme:

Këndi α	30º	45º	60º
sinα	$\displaystyle \frac{1}{2}$	$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$	$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$
cosα	$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$	$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$	$\displaystyle \frac{1}{3}$
tgα	$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}$	1	$\displaystyle \sqrt{3}$
cotgα	$\displaystyle \sqrt{3}$	1	$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}$

Varësia ndërmjet brinjëve dhe këndeve në trekëndëshin kënddrejtë

Nga përkufizimi i funksioneve trigonometrike kemi:

$\displaystyle sin\alpha =\frac{a}{c}\Rightarrow a=c\cdot sin\alpha$

$\displaystyle \cos a=\frac{b}{c}\Rightarrow b=c\cdot \cos \alpha$

$\displaystyle tga=\frac{a}{b}\Rightarrow b=a\cdot tg\alpha$

$\displaystyle cota=\frac{b}{a}\Rightarrow a=b\cdot cotga$

Pra, si përfundim ne mund të shkruajmë:

Përkufizim 1: “Në trekëndëshin kënddrejtë çdo katet është i barabartë me prodhimin e hipotenuzës me sinusin e këndit përballë këtij kateti”.

Përkufizim 2: “Në trekëndëshin kënddrejtë çdo katet është i barabartë me prodhimin e hipotenuzës me kosinusin e këndit të anëshkruar këtij kateti”.

Përkufizim 3: “Në trekëndëshin kënddrejtë çdo katet është i barabartë me prodhimin e katetit tjetër me tangentin e këndit përballë tij”.

Përkufizim 4: “Në trekëndëshin kënddrejtë çdo katet është i barabartë me prodhimin e katetit tjetër me kotangentin e këndit të anëshkruar tij”.

Këto barazime përdoren për të gjetur elementin e panjohur të trekëndëshit kënddrejtë kur jepen dy elemente të tij (të paktën njëri prej tyre duhet të jetë brinjë).

Tani gjejmë funksionet trigonometrike të këndit 30º.

Varësia ndërmjet brinjëve dhe këndeve në trekëndëshin kënddrejtë

Postime te ngjashme: