Detyra.Al Detyra.Al

  • Kreu
  • Matematika
    • Matematika 6
    • Matematika 7
    • Matematika 8
    • Matematika 9
    • Matematika 10
    • Matematika 11
    • Matematika 12
  • Fizika
  • Matematika Baze
  • Matura dhe provimi i lirimit
  • Kimia
    • Kimia 8
    • Kimia 9
Home / Ushtrime – Integrali i pacaktuar dhe metoda e integrimit me pjese

Ushtrime – Integrali i pacaktuar dhe metoda e integrimit me pjese

integrimit
Për zgjidhjen e ketyre ushtrimeve bazohemi tek 2 temat e integrali te pacaktuar:
  1. Integrali i pacaktuar
  2. Metoda e zevendesimit dhe integrimit me pjese

 

 

Ushtrimi 1

Duke përdorur tabelën e integraleve themelore, të njehsohen integralet:

a) \displaystyle \int{\left( 2{{x}^{3}}-4x+9 \right)dx}

b) \displaystyle \int{\left( {{2}^{x}}-3{{e}^{x}} \right)dx}

c) \displaystyle \int{\left( 2\sin x+4\cos x \right)dx}

 

qese plastike

 

Zgjidhje

a) \displaystyle \int{\left( 2{{x}^{3}}-4x+9 \right)dx}

\displaystyle =2\int{{{x}^{3}}}dx-4\int{xdx+9\int{dx}}

\displaystyle =2\frac{{{x}^{4}}}{4}-4\frac{{{x}^{2}}}{2}+9x+c

\displaystyle =\frac{{{x}^{4}}}{2}-2{{x}^{2}}+9x+c

 

 

b) \displaystyle \int{\left( {{2}^{x}}-3{{e}^{x}} \right)dx}

\displaystyle =\int{{{2}^{x}}dx-3\int{{{e}^{x}}}}dx

\displaystyle =\frac{{{2}^{x}}}{\ln 2}-3{{e}^{x}}+c

 

c) \displaystyle \int{\left( 2\sin x+4\cos x \right)dx}

\displaystyle =2\int{\sin xdx+4\int{\cos xdx}}

\displaystyle =-2\cos xdx+4\sin xdx+c

\displaystyle =4\sin xdx-2\cos xdx+c

 


 

Ushtrimi 2

Të njehsohen integralet:

a) \displaystyle \int{\left( 3-x \right)\left( 3+x \right)dx}

b) \displaystyle \int{\frac{\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)}{x}dx}

c) \displaystyle \int{\frac{{{x}^{2}}-1}{x+1}dx}

 

 

Zgjidhje

a) \displaystyle \int{\left( 3-x \right)\left( 3+x \right)dx}

Zbatojmë formulën e diferencës së katrorëve:

\displaystyle =\int{\left( 9-{{x}^{2}} \right)dx}

\displaystyle =9\int{dx-\int{{{x}^{2}}dx}}

\displaystyle =9x-\frac{{{x}^{3}}}{3}+c

 

 

b) \displaystyle \int{\frac{\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)}{x}dx}

\displaystyle =\int{\frac{{{x}^{2}}-1}{x}dx}

\displaystyle =\int{\frac{{{x}^{2}}-1}{x}dx}=\int{xdx-\int{\frac{dx}{x}}}

\displaystyle =\frac{{{x}^{2}}}{2}-\ln |x|+c

 

 

c) \displaystyle \int{\frac{{{x}^{2}}-1}{x+1}dx}

\displaystyle =\int{\frac{\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)}{x+1}dx}=\int{\left( x-1 \right)dx}

\displaystyle =\frac{{{x}^{2}}}{2}-x+c

 

qese plastike

 

Ushtrimi 3

Të njehsohen integralet:

a) \displaystyle \int{\frac{7{{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+4x}{{{x}^{2}}}dx}

b) \displaystyle \int{\frac{{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}-1}{3x}dx}

 

Zgjidhje

a) \displaystyle \int{\frac{7{{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+4x}{{{x}^{2}}}dx}

\displaystyle =7\int{{{x}^{2}}dx-3\int{dx+4\int{\frac{dx}{x}}}}

\displaystyle =7\frac{{{x}^{3}}}{3}-3x+4\ln |x|+c

 

b) \displaystyle \int{\frac{{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}-1}{3x}dx}

\displaystyle =\frac{1}{3}\int{{{x}^{3}}+\frac{2}{3}\int{xdx-\frac{1}{3}\int{\frac{dx}{x}}}}

\displaystyle =\frac{1}{3}\cdot \frac{{{x}^{4}}}{4}+\frac{2}{3}\cdot \frac{{{x}^{2}}}{3}-\frac{1}{3}\cdot \ln |x|+c

\displaystyle =\frac{{{x}^{4}}}{12}+\frac{2{{x}^{2}}}{9}-\frac{\ln |x|}{3}+c

 


 

Ushtrimi 4

Të njehsohen integralet duke përdorur metodën e integrimit me pjesë:

a) \displaystyle \int{\left( x+1 \right)\cdot {{e}^{x}}dx}

b) \displaystyle \int{\left( 4x-3 \right)\cdot {{e}^{x}}dx}

c) \displaystyle \int{\left( x+1 \right)\cdot \sin xdx}

d) \displaystyle \int{{{x}^{3}}\cdot \ln xdx}

e) \displaystyle \int{\left( x+1 \right)\cdot \ln xdx}

f) \displaystyle \int{\sqrt{x}\cdot \ln xdx}

 

 

Zgjidhje

a) \displaystyle \int{\left( x+1 \right)\cdot {{e}^{x}}dx}

Për të zgjidhur integralet me metodën e integrimit me pjesë shkruajmë:

\displaystyle u=x+1

\displaystyle du=dx

\displaystyle dv={{e}^{x}}dx

\displaystyle v=\int{{{e}^{x}}dx={{e}^{x}}}

Tani përdorim formuën e integrimit me pjesë:

\displaystyle \int{udv}=uv-\int{vdu}

\displaystyle \left( x+1 \right)\cdot {{e}^{x}}-\int{{{e}^{x}}dx}

\displaystyle \left( x+1 \right)\cdot {{e}^{x}}-{{e}^{x}}+c

\displaystyle =x{{e}^{x}}+c

 

b) \displaystyle \int{\left( 4x-3 \right)\cdot {{e}^{x}}dx}

Shkruajmë:

\displaystyle u=4x-3

\displaystyle du=4dx

\displaystyle dv={{e}^{x}}dx

\displaystyle v=\int{{{e}^{x}}dx={{e}^{x}}}

Zbatojmë formulën e integrimit me pjesë:

\displaystyle \int{udv}=uv-\int{vdu}

\displaystyle \left( 4x-3 \right)\cdot {{e}^{x}}-\int{{{e}^{x}}}\cdot 4dx

\displaystyle =\left( 4x-3 \right)\cdot {{e}^{x}}-4{{e}^{x}}+c

\displaystyle ={{e}^{x}}\left( 4x-3-4 \right)+c

\displaystyle ={{e}^{x}}\left( 4x-1 \right)+c

 

c) \displaystyle \int{\left( x+1 \right)\cdot \sin xdx}

shkruajmë:

\displaystyle u=x+1

\displaystyle du=dx

\displaystyle dv=\sin xdx

\displaystyle v=\int{\sin xdx=-\cos x}

Zbatojmë formulën e integrimit me pjesë:

\displaystyle \int{udv}=uv-\int{vdu}

\displaystyle -\left( x+1 \right)\cdot \cos x-\int{-\cos xdx}

\displaystyle =-\left( x+1 \right)\cdot \cos x+\sin x+c

\displaystyle =\sin x-\left( x+1 \right)\cdot \cos x+c

 

 

d) \displaystyle \int{{{x}^{3}}\cdot \ln xdx}

Shkruajmë:

\displaystyle u=\ln x

\displaystyle du=\frac{dx}{x}

\displaystyle dv={{x}^{3}}dx

\displaystyle v=\int{{{x}^{3}}dx=\frac{{{x}^{4}}}{4}}

Zbatojmë formulën e integrimit me pjesë:

\displaystyle \int{udv}=uv-\int{vdu}

\displaystyle \ln x\cdot \frac{{{x}^{4}}}{4}-\int{\frac{{{x}^{4}}}{4}}\cdot \frac{dx}{x}

\displaystyle =\frac{{{x}^{4}}\cdot \ln x}{4}-\frac{1}{4}\int{{{x}^{3}}dx}

\displaystyle =\frac{{{x}^{4}}\cdot \ln x}{4}-\frac{1}{4}\cdot \frac{{{x}^{4}}}{4}+c

\displaystyle =\frac{3{{x}^{4}}\cdot \ln x}{16}+c


 
e) \displaystyle \int{\left( x+1 \right)\cdot \ln xdx}

Shkruajmë:

\displaystyle u=\ln x

\displaystyle du=\frac{dx}{x}

\displaystyle dv=\left( x+1 \right)dx

\displaystyle v=\int{\left( x+1 \right)dx=\frac{{{x}^{2}}}{2}+x}

Zbatojmë formulën e integrimit me pjesë:

\displaystyle \int{udv}=uv-\int{vdu}

\displaystyle \ln x\left( \frac{{{x}^{2}}}{2}+x \right)-\int{\left( \frac{{{x}^{2}}}{2}+x \right)}\frac{dx}{x}

\displaystyle =\ln x\cdot \left( \frac{{{x}^{2}}}{2}+x \right)-\int{\frac{{{x}^{2}}+2x}{2x}}dx

\displaystyle =\ln x\cdot \left( \frac{{{x}^{2}}}{2}+x \right)-\frac{1}{2}\cdot \frac{{{x}^{2}}}{2}+\frac{{{x}^{2}}}{2}+c

\displaystyle =\ln x\cdot \left( \frac{{{x}^{2}}}{2}+x \right)-\frac{{{x}^{2}}}{4}+\frac{{{x}^{2}}}{2}+c

 

 

f) \displaystyle \int{\sqrt{x}\cdot \ln xdx}

Shkruajmë:

\displaystyle u=\ln x

\displaystyle du=\frac{dx}{x}

\displaystyle dv=\sqrt{x}dx

\displaystyle v=\int{\sqrt{x}dx=\frac{{{x}^{\frac{3}{2}}}}{\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}{{x}^{\frac{3}{2}}}}

Zbatojmë formulën e integrimit me pjesë:

\displaystyle \int{udv}=uv-\int{vdu}

\displaystyle \ln x\cdot \frac{2}{3}{{x}^{\frac{3}{2}}}-\int{\frac{2}{3}{{x}^{\frac{3}{2}}}}\cdot \frac{dx}{x}

\displaystyle =\frac{2}{3}\ln x\cdot {{x}^{\frac{3}{2}}}-\frac{2}{3}\int{{{x}^{\frac{1}{2}}}}dx

\displaystyle =\frac{2}{3}\ln x\cdot {{x}^{\frac{3}{2}}}-\frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3}{{x}^{\frac{3}{2}}}

\displaystyle =\frac{2}{3}{{x}^{\frac{3}{2}}}\left( \ln x-\frac{2}{3} \right)

Copyright © detyra.al

qese plastike

Copyright © detyra.al
Postime te ngjashme:
  • Matematika 8Matematika 8
  • Matematika 9Matematika 9
  • Matematika 10Matematika 10
  • Matematika 7Matematika 7
  • Matematika BazeMatematika Baze
  • Numrat e ThjeshteNumrat e Thjeshte
  • PesekendeshatPesekendeshat
  • Numrat NatyroreNumrat Natyrore
  • Integrimi me thyesa te pjeseshmeIntegrimi me thyesa te pjeseshme
  • Thyesat AlgjebrikeThyesat Algjebrike
  • Formulat e VietesFormulat e Vietes
  • Matematika 11Matematika 11
  • Derivative of sin^2(x)Derivative of sin^2(x)
  • MatematikaMatematika
  • Matematika 12Matematika 12
  • Provimi i lirimitProvimi i lirimit
integralintegraliintegrali i pacaktuarMetoda e integrimit me pjeseUshtrime Integrali i pacaktuarUshtrime te zgjidhura – Integrali i pacaktuar

Kerko Mesime

Pages

  • Fizika
    • Fizika 7
  • Kimia
    • Kimia 8
    • Kimia 9
  • Kontakt
  • Kreu
  • Matura dhe provimi i lirimit

Sponcor Ju-Ar Plast Sh.P.K

Ju-Ar Plast Sh.P.K

Postime te ngjashme:

  • Matematika 7
  • Matematika 8
  • Matematika 6
  • Matematika 9
  • Matematika 12
  • Provimi i lirimit
  • Matematika
  • Matematika 11
  • Matematika 10
  • Matematika Baze

qese plastike

Ju-Ar Plast Sh.P.K

Na kontaktoni

Detyra.al është një platformë eduktaive online e cila vjen në ndihmë të nxënësve të klasave të 6-12 me leksione, ushtrime dhe teza provimesh.

Email: info@detyra.al