Integrali i pacaktuar | Kuptimi i integralit te pacaktuar

Kuptimi i integralit të pacaktuar

Përkufizimi 1: Funksion primitiv të funksionit f në intervalin $\displaystyle \left] a,b \right[$ do të quajmë çdo funksion F, të derivueshëm në $\displaystyle \left] a,b \right[$ , derivati i të cilit është i barabartë me funksionin e dhënë f.

Shembull 1

Funksioni $\displaystyle F:y={{x}^{3}}$ është funksion primitiv i funksionit $\displaystyle f:y=3{{x}^{2}}$ në $\displaystyle \left] -\infty ,+\infty \right[$ sepse $\displaystyle F'\left( x \right)=\left( {{x}^{3}} \right)'=3{{x}^{2}}$

Shembull 2

Funksioni $\displaystyle F:y=sinx$ është funksion primitiv i funksionit $\displaystyle f:y=cosx$ , sepse $\displaystyle F'\left( x \right)=\left( sinx \right)'=\cos x$ .

Vëmë re se kur për një funksion të dhënë f, ekziston funksioni primitiv F, atëherë ai nuk është i vetëm.

Në shembullin 1, si funksion primitiv të funksionit $\displaystyle f:y=3{{x}^{2}}$ , veç funksionit $\displaystyle F:y={{x}^{3}}$ janë edhe funksionet $\displaystyle y={{x}^{3}}+2$ , $\displaystyle y={{x}^{3}}+5$ , $\displaystyle y={{x}^{3}}+\pi$ dhe në përgjithësi $\displaystyle y={{x}^{3}}+c$ , për çdo vlerë reale të konstantes c.

Në qoftë se F është primitiv i f, atëherë funksionet $\displaystyle y=F\left( x \right)+c$ , ku c është numër real i çfarëdoshëm janë të gjitha dhe vetmet primitivë të $\displaystyle f\left( x \right)$ .

Përkufizimi 2: Bashkësia e të gjithë primitivëve të një funksioni f quhet integral i pacaktuar i f dhe shënohet me simbolin $\displaystyle \int{f\left( x \right)dx}$ , lexohet intergrtali i $\displaystyle f\left( x \right)dx$ .

Funksioni f quhet funksioni nën integral, shprehja $\displaystyle f\left( x \right)dx$ quhet shprehje nën integrale, ndërsa x quhet ndryshorja e integrimit.

Sipas përkufizimit kemi:

$\displaystyle \int{f\left( x \right)dx}=F\left( x \right)+c$ , në qoftë se $\displaystyle F'\left( x \right)=f\left( x \right)$ . Konstantja c quhet konstante e integrimit.

Pranojmë pa vërtetim se po të jetë funksioni f i vazhdueshëm në $\displaystyle \left[ a,b \right]$ , ai ka funksion primitiv.

Tabela e integraleve themelore

$\displaystyle \int{dx=x+c}$

$\displaystyle \int{{{x}^{\alpha }}dx=\frac{{{x}^{\alpha +1}}}{\alpha +1}}+c$

$\displaystyle \int{\frac{dx}{x}=\ln |x|}+c$

$\displaystyle \int{{{a}^{x}}dx=\frac{{{a}^{x}}}{\ln a}}+c$

$\displaystyle \int{{{e}^{x}}dx={{e}^{x}}}+c$

$\displaystyle \int{\sin xdx=-cosx}+c$

$\displaystyle \int{\cos xdx=\sin x}+c$

$\displaystyle \int{\frac{dx}{{{\cos }^{2}}x}=tgx}+c$

$\displaystyle \int{\frac{dx}{{{\sin }^{2}}x}=-\cot gx}+c$

$\displaystyle \int{\frac{dx}{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}=\frac{1}{2}\ln |\frac{x-a}{x+a}|}+c$

$\displaystyle \int{\frac{dx}{\sqrt{{{x}^{2}}-a}}=\ln |x+\sqrt{{{x}^{2}}+a}|}+c$

$\displaystyle \int{\frac{dx}{{{x}^{2}}}}=-\frac{1}{x}+c$

$\displaystyle \int{\frac{dx}{\sqrt{x}}}=2\sqrt{x}+c$

Veti të integralit të pacaktuar

Nga përkufizimi i integralit të pacaktuar rrjedh se derivati i integralit të pacaktuar është I barabartë me funksionin nën integral:

$\displaystyle \left[ \int{f\left( x \right)}dx \right]'=f\left( x \right)$

Integrali i pacaktuar i një shume algjebrike funksionesh është i barabartë me shumën algjebrike të integraleve të pacaktuara të këtyre funksioneve:

$\displaystyle \int{\left[ f\left( x \right)+g\left( x \right) \right]dx}=\int{f\left( x \right)}+\int{g\left( x \right)}$

Faktori konstant mund të nxirret jashtë shenjës së integralit të pacaktuar:

$\displaystyle \int{kf\left( x \right)}dx=k\int{f\left( x \right)}dx$

$\displaystyle \int{F'\left( x \right)}dx=F\left( x \right)+c$

$\displaystyle \int{d\left[ F\left( x \right) \right]}=F\left( x \right)+c$

Ushtrimi 1

Të njehsohet $\displaystyle \int{\left( \frac{2}{{{\cos }^{2}}x}-\frac{3}{{{\sin }^{2}}x}+\frac{4}{x} \right)dx}$

Zgjidhje

Nxjerrim jashtë shenjës së integralit faktorët konstant dhe zbatojmë vetinë e shumës algjebrike të integraleve . Do të kemi:

$\displaystyle \int{\left( \frac{2}{{{\cos }^{2}}x}-\frac{3}{{{\sin }^{2}}x}+\frac{4}{x} \right)dx}$

$\displaystyle =2\int{\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}}dx-3\int{\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}}dx+4\int{\frac{1}{x}dx}$

Tani shikojmë tabelën e integraleve themelore. Do të kemi:

$\displaystyle =2tgx+3\cot gx+8\sqrt{x}+c$