Home / Integrali i pacaktuar

Integrali i pacaktuar

integrali pacaktuar

Kuptimi i integralit të pacaktuar

Përkufizimi 1: Funksion primitiv të funksionit f në intervalin \displaystyle \left] a,b \right[ do të quajmë çdo funksion F, të derivueshëm në \displaystyle \left] a,b \right[, derivati i të cilit është i barabartë me funksionin e dhënë f.

 

 

qese plastike

 

Shembull 1

Funksioni \displaystyle F:y={{x}^{3}}  është funksion primitiv i funksionit \displaystyle f:y=3{{x}^{2}} në \displaystyle \left] -\infty ,+\infty \right[ sepse \displaystyle F'\left( x \right)=\left( {{x}^{3}} \right)'=3{{x}^{2}}

 

 

Shembull 2

Funksioni \displaystyle F:y=sinx është funksion primitiv i funksionit \displaystyle f:y=cosx, sepse \displaystyle F'\left( x \right)=\left( sinx \right)'=\cos x.

 

 

Vëmë re se kur për një funksion të dhënë f, ekziston funksioni primitiv F, atëherë ai nuk është i vetëm.

Në shembullin 1, si funksion primitiv të funksionit \displaystyle f:y=3{{x}^{2}}, veç funksionit \displaystyle F:y={{x}^{3}}  janë edhe funksionet \displaystyle y={{x}^{3}}+2, \displaystyle y={{x}^{3}}+5, \displaystyle y={{x}^{3}}+\pi dhe në përgjithësi \displaystyle y={{x}^{3}}+c, për çdo vlerë reale të konstantes c.

Në qoftë se F është primitiv i f, atëherë funksionet \displaystyle y=F\left( x \right)+c, ku c është numër real i çfarëdoshëm janë të gjitha dhe vetmet primitivë të \displaystyle f\left( x \right).

 

Përkufizimi 2: Bashkësia e të gjithë primitivëve të një funksioni f quhet integral i pacaktuar i f dhe shënohet me simbolin \displaystyle \int{f\left( x \right)dx}, lexohet intergrtali i \displaystyle f\left( x \right)dx.

Funksioni f quhet funksioni nën integral, shprehja \displaystyle f\left( x \right)dx quhet shprehje nën integrale, ndërsa x quhet ndryshorja e integrimit.

Sipas përkufizimit kemi:

\displaystyle \int{f\left( x \right)dx}=F\left( x \right)+c, në qoftë se \displaystyle F'\left( x \right)=f\left( x \right). Konstantja c quhet konstante e integrimit.

Pranojmë pa vërtetim se po të jetë funksioni f i vazhdueshëm në \displaystyle \left[ a,b \right], ai ka funksion primitiv.

 

 

qese plastike

Tabela e integraleve themelore

\displaystyle \int{dx=x+c}
 

\displaystyle \int{{{x}^{\alpha }}dx=\frac{{{x}^{\alpha +1}}}{\alpha +1}}+c

\displaystyle \int{\frac{dx}{x}=\ln |x|}+c
 
\displaystyle \int{{{a}^{x}}dx=\frac{{{a}^{x}}}{\ln a}}+c
 
\displaystyle \int{{{e}^{x}}dx={{e}^{x}}}+c
 
\displaystyle \int{\sin xdx=-cosx}+c
 
\displaystyle \int{\cos xdx=\sin x}+c
 
\displaystyle \int{\frac{dx}{{{\cos }^{2}}x}=tgx}+c
 
\displaystyle \int{\frac{dx}{{{\sin }^{2}}x}=-\cot gx}+c
 
\displaystyle \int{\frac{dx}{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}=\frac{1}{2}\ln |\frac{x-a}{x+a}|}+c
 
\displaystyle \int{\frac{dx}{\sqrt{{{x}^{2}}-a}}=\ln |x+\sqrt{{{x}^{2}}+a}|}+c
 
\displaystyle \int{\frac{dx}{{{x}^{2}}}}=-\frac{1}{x}+c
 
\displaystyle \int{\frac{dx}{\sqrt{x}}}=2\sqrt{x}+c

 

 

 

 

 

Veti  të integralit të pacaktuar

  1. Nga përkufizimi i integralit të pacaktuar rrjedh se derivati i integralit të pacaktuar është I barabartë me funksionin nën integral:

\displaystyle \left[ \int{f\left( x \right)}dx \right]'=f\left( x \right)

 

  1. Integrali i pacaktuar i një shume algjebrike funksionesh është i barabartë me shumën algjebrike të integraleve të pacaktuara të këtyre funksioneve:

\displaystyle \int{\left[ f\left( x \right)+g\left( x \right) \right]dx}=\int{f\left( x \right)}+\int{g\left( x \right)}

 

  1. Faktori konstant mund të nxirret jashtë shenjës së integralit të pacaktuar:

\displaystyle \int{kf\left( x \right)}dx=k\int{f\left( x \right)}dx

 

  1. \displaystyle \int{F'\left( x \right)}dx=F\left( x \right)+c

 

  1. \displaystyle \int{d\left[ F\left( x \right) \right]}=F\left( x \right)+c

 

Ushtrimi 1

Të njehsohet \displaystyle \int{\left( \frac{2}{{{\cos }^{2}}x}-\frac{3}{{{\sin }^{2}}x}+\frac{4}{x} \right)dx}

 

Zgjidhje

Nxjerrim jashtë shenjës së integralit faktorët konstant dhe zbatojmë vetinë e shumës algjebrike të integraleve . Do të kemi:

\displaystyle \int{\left( \frac{2}{{{\cos }^{2}}x}-\frac{3}{{{\sin }^{2}}x}+\frac{4}{x} \right)dx}

\displaystyle =2\int{\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}}dx-3\int{\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}}dx+4\int{\frac{1}{x}dx}

Tani shikojmë tabelën e integraleve themelore. Do të kemi:

\displaystyle =2tgx+3\cot gx+8\sqrt{x}+c

Copyright © detyra.al

qese plastike

Copyright © detyra.al
Postime te ngjashme: