Kuptimi i integralit të pacaktuar
Përkufizimi 1: Funksion primitiv të funksionit f në intervalin do të quajmë çdo funksion F, të derivueshëm në
, derivati i të cilit është i barabartë me funksionin e dhënë f.
Shembull 1
Funksioni është funksion primitiv i funksionit
në
sepse
Shembull 2
Funksioni është funksion primitiv i funksionit
, sepse
.
Vëmë re se kur për një funksion të dhënë f, ekziston funksioni primitiv F, atëherë ai nuk është i vetëm.
Në shembullin 1, si funksion primitiv të funksionit , veç funksionit
janë edhe funksionet
,
,
dhe në përgjithësi
, për çdo vlerë reale të konstantes c.
Në qoftë se F është primitiv i f, atëherë funksionet , ku c është numër real i çfarëdoshëm janë të gjitha dhe vetmet primitivë të
.
Përkufizimi 2: Bashkësia e të gjithë primitivëve të një funksioni f quhet integral i pacaktuar i f dhe shënohet me simbolin
, lexohet intergrtali i
.
Funksioni f quhet funksioni nën integral, shprehja quhet shprehje nën integrale, ndërsa x quhet ndryshorja e integrimit.
Sipas përkufizimit kemi:
, në qoftë se
. Konstantja c quhet konstante e integrimit.
Pranojmë pa vërtetim se po të jetë funksioni f i vazhdueshëm në , ai ka funksion primitiv.
Tabela e integraleve themelore
|
|
|
Veti të integralit të pacaktuar
- Nga përkufizimi i integralit të pacaktuar rrjedh se derivati i integralit të pacaktuar është I barabartë me funksionin nën integral:
- Integrali i pacaktuar i një shume algjebrike funksionesh është i barabartë me shumën algjebrike të integraleve të pacaktuara të këtyre funksioneve:
- Faktori konstant mund të nxirret jashtë shenjës së integralit të pacaktuar:
Ushtrimi 1
Të njehsohet
Zgjidhje
Nxjerrim jashtë shenjës së integralit faktorët konstant dhe zbatojmë vetinë e shumës algjebrike të integraleve . Do të kemi:
Tani shikojmë tabelën e integraleve themelore. Do të kemi: