Detyra.Al Detyra.Al

  • Kreu
  • Matematika
    • Matematika 6
    • Matematika 7
    • Matematika 8
    • Matematika 9
    • Matematika 10
    • Matematika 11
    • Matematika 12
  • Fizika
  • Matematika Baze
  • Matura dhe provimi i lirimit
  • Kimia
    • Kimia 8
    • Kimia 9
Home / Metoda e zevendesimit dhe integrimi me pjese

Metoda e zevendesimit dhe integrimi me pjese

Integrimi me pjese

Metoda e zevendesimit

Duke parë tabelën e integraleve themelore, vëmë re se ajo nuk përmbanë integralet e të gjitha funksioneve të zakonshme themelore.

Gjithashtu, nuk ka rregulla për integralin e prodhimit të dy funksioneve, raportit të tyre, të funksionit të përbërë etj, rregulla këto që ekzistojnë për gjetjen e derivatit të funksionit.

qese plastike

 

Gjatë njehsimit të integraleve të ndryshme është e nevojshme të mbahen parasysh disa shndërrime nën shenjën e diferencialit.

Dimë se diferenciali i funksionit \displaystyle f:y=f\left( x \right) është \displaystyle dy=f'\left( x \right)dx. E zbatojmë këtë formulë për të gjetur diferencialin e disa funksioneve të thjeshta.

 

  1. \displaystyle d\left( x+a \right)=dx, ku a është konstante

 

  1. \displaystyle d\left( ax \right)=a\cdot dx, nga ku \displaystyle dx=\frac{1}{a}d\left( ax \right)

 

  1. \displaystyle d\left( ax+b \right)=a\cdot dx, nga ku \displaystyle dx=\frac{1}{a}d\left( ax+b \right)

 

  1. \displaystyle d\left( {{x}^{2}} \right)=2xdx, nga ku \displaystyle xdx=\frac{1}{2}d\left( {{x}^{2}} \right)

 

  1. \displaystyle d\left( \ln x \right)=\frac{1}{x}dx, nga ku \displaystyle \frac{dx}{x}=d\left( \ln x \right)

 

  1. \displaystyle {{e}^{x}}dx=d\left( {{e}^{x}} \right)

 

  1. \displaystyle \cos xdx=d\left( \sin x \right)

 

  1. \displaystyle \sin xdx=-d\left( \cos x \right).

 

 

 

 

 

Shembulli 1

Të njehsohet \displaystyle \int{\frac{dx}{x+5}}

 

Zgjidhje

\displaystyle \int{\frac{dx}{x+5}}=\int{\frac{d\left( x+5 \right)}{x+5}}=\int{\frac{du}{u}}

Kemi zëvëndësuar \displaystyle x+5 me \displaystyle u.

\displaystyle \int{\frac{d\left( x+5 \right)}{x+5}}=\ln |x+5|+c

 

 

 

 

 

 

Shembulli 2

Të njehsohet \displaystyle \int{\frac{dx}{2x+1}}

 

Zgjidhje

\displaystyle \int{\frac{dx}{2x+1}}=\frac{1}{2}\int{\frac{d\left( 2x+1 \right)}{2x+1}}=\frac{1}{2}\int{\frac{du}{u}}

Kemi zëvëndësuar \displaystyle 2x+1 me \displaystyle u.

\displaystyle \frac{1}{2}\int{\frac{d\left( 2x+1 \right)}{2x+1}}=\frac{1}{2}\ln |2x+1|

 

 

 

 

qese plastike

 

 

 

Metoda e integrimit me pjese

Një metodë tjetër mjaft e përdorshmë për integrimin e funksioneve është ajo e integrimit me pjese.

Janë dhënë funksionet \displaystyle u=u\left( x \right) dhe \displaystyle v=v\left( x \right), të cilët kanë derivate të vazhdueshëm në një interval. Dimë që \displaystyle \left( uv \right)'=u'v+uv' nga ku \displaystyle uv'=\left( uv \right)'-u'v.

Duke marrë integralet e të dyja anëve të barazimit të mësipërm, kemi:

\displaystyle \int{uv'dx}=\int{\left( uv \right)'}dx-\int{u'v}dx.

Meqë    \displaystyle v'dx=dv dhe \displaystyle u'dx=du, kemi:

\displaystyle \int{udv}=uv-\int{vdu}. Kjo quhet formula e integrimit me pjese.

Kur integrojmë me pjese \displaystyle \int{f\left( x \right)}dx, shprehjen nën integral \displaystyle f\left( x \right)dx e paraqesim në trajtë prodhimi \displaystyle u\cdot v.

Më pas, kryejmë dy integrimet e tjera:

  1. Nga diferenciali \displaystyle dv gjejmë funksionin v
  2. Gjejmë \displaystyle \int{vdu}

 

 

 

 

Ushtrime të zgjidhura – Integrimi me pjese

 

Ushtrimi 1

Të njehsohet integrali \displaystyle I=\int{\left( x+1 \right)\cdot {{e}^{x}}}dx

 

Zgjidhje

Shënojmë \displaystyle u=x+1, nga ku \displaystyle du=dx dhe \displaystyle v=\int{{{e}^{x}}}dx={{e}^{x}}.

Duke zbatuar formulën e integrimit me pjese kemi:

\displaystyle \int{\left( x+1 \right)\cdot {{e}^{x}}}dx=\left( x+1 \right)\cdot {{e}^{x}}-\int{{{e}^{x}}}dx

\displaystyle =\left( x+1 \right)\cdot {{e}^{x}}-{{e}^{x}}

\displaystyle ={{e}^{x}}\left( x+1-1 \right)

\displaystyle =x\cdot {{e}^{x}}

 

 

 

 

Ushtrimi 2

Të njehsohet integrali \displaystyle \int{\ln x}dx

 

Zgjidhje

Shënojmë:

\displaystyle u=\ln x

\displaystyle dv=dx

\displaystyle du=\frac{1}{x}dx

\displaystyle v=\int{dx=x}

 

Duke zbatuar formulën e integrimit me pjese kemi:

\displaystyle \int{\ln x}dx=\ln x\cdot x-\int{x\cdot \frac{1}{x}dx}

\displaystyle =\ln x\cdot x-\int{dx}

\displaystyle =\ln x\cdot x-x

\displaystyle =x\left( \ln x-1 \right)

 

 

Ushtrimi 3

Të njehsohet integrali \displaystyle I=\int{x\cdot \sin xdx}

 

Zgjidhje

Shënojmë:

\displaystyle u=x

\displaystyle du=dx

\displaystyle dv=\sin xdx

\displaystyle v=\int{\sin xdx=-\cos x}

 

Duke zbatuar formulën e integrimit me pjese kemi:

\displaystyle \int{x\cdot \sin xdx}=-x\cdot \cos x+\int{\cos xdx}

\displaystyle =-x\cdot \cos x+\sin x

\displaystyle =\sin x-x\cdot \cos x

Copyright © detyra.al

qese plastike

Copyright © detyra.al
Postime te ngjashme:
  • Thyesat AlgjebrikeThyesat Algjebrike
  • Matematika 12Matematika 12
  • Matematika 10Matematika 10
  • Derivative of sin^2(x)Derivative of sin^2(x)
  • Numrat NatyroreNumrat Natyrore
  • Matematika 9Matematika 9
  • Matematika 8Matematika 8
  • Matematika BazeMatematika Baze
  • Matematika 11Matematika 11
  • Integrimi me thyesa te pjeseshmeIntegrimi me thyesa te pjeseshme
  • Formulat e VietesFormulat e Vietes
  • Matematika 7Matematika 7
  • Matematika 6Matematika 6
  • PesekendeshatPesekendeshat
  • MatematikaMatematika
  • Provimi i lirimitProvimi i lirimit
formula e integrimit me pjeseintegraliintegrali i pacaktuarMetoda e integrimit me pjeseMetoda e zëvëndësimitMetoda e zevendesimit dhe integrimi me pjeseUshtrime të zgjidhura - Integrimi me pjese

Kerko Mesime

Pages

  • Fizika
    • Fizika 7
  • Kimia
    • Kimia 8
    • Kimia 9
  • Kontakt
  • Kreu
  • Matura dhe provimi i lirimit

Sponcor Ju-Ar Plast Sh.P.K

Ju-Ar Plast Sh.P.K

Postime te ngjashme:

  • Matematika 7
  • Matematika 6
  • Matematika 10
  • Matematika
  • Matematika 8
  • Matematika 12
  • Provimi i lirimit
  • Matematika Baze
  • Matematika 11
  • Matematika 9

qese plastike

Ju-Ar Plast Sh.P.K

Na kontaktoni

Detyra.al është një platformë eduktaive online e cila vjen në ndihmë të nxënësve të klasave të 6-12 me leksione, ushtrime dhe teza provimesh.

Email: info@detyra.al