Progresioni gjeometrik | Shuma e n kufizave të fillimit

Formula për kufizë të çfarëdoshme të tij

Progresioni gjeometrik është vargu me kufiza të ndryshme nga zero, në të cilin çdo kufizë, duke filluar nga e dyta¸është e barabartë me prodhimin e kufizës paraardhëse me të njëjtin numër.

Ky numër quhet herës i progresionit gjeometrik . Zakonisht shënohet me q.

Sipas përkufizimit, vargu numerik $\displaystyle \left( {{y}_{n}} \right)$ kur $\displaystyle {{y}_{n}}\ne 0$ është progression gjeometrik atëherë dhe vetëm atëherë kur për çdo vlerë të n nga bashkësia e përcaktimit $\displaystyle n\ge 2$ kemi $\displaystyle {{y}_{n}}=q\cdot {{y}_{n-1}}$ .

Ky barazim është i njëvlershëm me $\displaystyle \frac{{{y}_{n}}}{{{y}_{n-1}}}=q$ .

Pra, themi që vargu numerik është progresion gjeometrik atëherë dhe vetëm atëherë kur herësi i çdo kufize, duke filluar nga e dyta, me kufizën paraardhëse është një numër konstant.

Teoremë: Në progresionin gjeometrik me kufizë të parë y $\displaystyle {{y}_{1}}$ dhe herës q, kufiza e n-të jepet nga formula $\displaystyle {{y}_{n}}={{y}_{1}}\cdot {{q}^{n-1}}$ .

Shembull 1

Jepet progresioni gjeometrik 2, 4, 8, 16, 32…. Gjeni kufizën e 10 të progresionit.

Zgjidhje

Në fillim gjejmë herësin q:

$\displaystyle q=\frac{{{y}_{2}}}{{{y}_{1}}}=\frac{4}{2}=2$

Gjejmë kufizën e 10-të tek progresioni gjeometrik:

$\displaystyle {{y}_{n}}={{y}_{1}}\cdot {{q}^{n-1}}$

$\displaystyle {{y}_{10}}=2\cdot {{2}^{10-1}}$

$\displaystyle {{y}_{10}}=2\cdot {{2}^{10-1}}={{2}^{10}}=1024$

Përgjigje: Kufiza e 10-të e progresionit është 1024.

Shembull 2

Jepet progresioni 1, 3, 9, 27……. Gjeni kufizën e 7 të progresionit gjeometrik.

Zgjidhje

Në fillim gjejmë herësin q:

$\displaystyle q=\frac{{{y}_{2}}}{{{y}_{1}}}=\frac{3}{1}=3$

Gjejmë kufizën e 7-të tek progresioni gjeometrik:

$\displaystyle {{y}_{n}}={{y}_{1}}\cdot {{q}^{n-1}}$

$\displaystyle {{y}_{7}}=1\cdot {{3}^{7-1}}={{3}^{6}}=81$

Përgjigje: Kufiza e 7-të e progresionit është 81.

Shuma e n kufizave të fillimit tek progresioni gjeometrik

Teoremë: Shuma e n kufizave të fillimit të progresionit gjeometrik jepet nga formula $\displaystyle {{S}_{n}}=\frac{{{y}_{n}}\cdot q-{{y}_{1}}}{q-1}$