Hiperbola dhe ekuacioni i saj | Matematika 12

Hiperbola është bashkësia e pikave të planit, diferenca e largesave të të cilave nga dy pika fikse të planit, të quajtura vatra, është madhësi konstante (kjo konstante duhet të jetë më e vogël se largesa ndërmjet vatrave).

Për të nxjerrë ekuacionin e hiperbolës, zgjedhim si bosht të abshisave drejtëzën që bashkon dy vatrat, ndërsa origjinën e koordinatave e caktojmë në mesin e e segmentit që bashkon vatrat.

Shënojmë me 2c largesën ndërmjet vatrave $\displaystyle {{F}_{1}}$ dhe $\displaystyle {{F}_{2}}$ . Do të kemi $\displaystyle {{F}_{1}}\left( -c,0 \right)$ dhe $\displaystyle {{F}_{2}}\left( c,0 \right)$ .

Shënojmë $\displaystyle M\left( x,y \right)$ një pikë çfarëdo të elipsit. Segmentet $\displaystyle M{{F}_{1}}$ dhe $\displaystyle M{{F}_{2}}$ quhen rreze vatrore të pikës M. gjatësitë e tyre i shënojmë $\displaystyle {{r}_{1}}$ dhe $\displaystyle {{r}_{2}}$ .

Kemi $\displaystyle {{r}_{1}}={{M}_{1}}=\sqrt{{{\left( x+c \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}$ dhe $\displaystyle {{r}_{2}}={{M}_{1}}=\sqrt{{{\left( x-c \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}$ .

Sipas përkufizimit të hiperbolës, diferenca $\displaystyle {{r}_{1}}-{{r}_{2}}$ është madhësi konstante. E shënojmë atë me $\displaystyle 2a$ .

Pra, kemi $\displaystyle {{r}_{1}}-{{r}_{2}}=2a$ ose $\displaystyle \sqrt{{{\left( x+c \right)}^{2}}-{{y}^{2}}}=2a$ . Ky është ekuacioni i hiperbolës.

Duke bërë disa shndërrime identike, arrijmë në përfundimin:

$\displaystyle \frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1$ , ku $\displaystyle {{b}^{2}}={{c}^{2}}-{{a}^{2}}$ . Ky është ekuacioni më i thjeshtë i hiperbolës.

Shembull 1

Jepet hiperbola me largesë ndërmjet vatrave $\displaystyle 2c=10$ cm dhe diferencë të rrezeve vatrore $\displaystyle 2a=8$ . Gjeni ekuacionin e hiperbolës.

Zgjidhje

Kemi $\displaystyle 2c=10$ , pra $\displaystyle c=5$ .

$\displaystyle 2a=8$ , pra $\displaystyle a=4$ .

Nga barazimi $\displaystyle {{b}^{2}}={{c}^{2}}-{{a}^{2}}$ , gjejmë b:

$\displaystyle {{b}^{2}}={{5}^{2}}-{{4}^{2}}$

$\displaystyle {{b}^{2}}=25-16$

$\displaystyle {{b}^{2}}=9$

Ekuacioni i hiperbolës është:

$\displaystyle \frac{{{x}^{2}}}{16}-\frac{{{y}^{2}}}{9}=1$ .

Forma e hiperbolës

Simetria

Boshtet koordinative janë boshte simetrie për hiperbolën, ndërsa origjina e koordinatave është qendër simetrie e saj. Kjo quhet qendër e hiperbolës.

Zona e vendosjes

Pikat e hiperbolës ndodhen jashtë brezit të kufizuar nga drejtëza $\displaystyle x=-a$ dhe $\displaystyle x=a$ .

Pikat e prerjes me boshtet

Hiperbola e pret boshtin e abshisave në pikat $\displaystyle A\left( -a,0 \right)$ dhe $\displaystyle {{A}_{1}}\left( a,0 \right)$ . Këto quhen kulme të hiperbolës. Segmenti $\displaystyle A{{A}_{1}}=2a$ quhet boshti real i hiperbolës.

Segmenti $\displaystyle B{{B}_{1}}=2b$ quhet boshti imagjinar i hiperbolës.

Në figurën më poshtë janë ndërtuar pingulet me boshtet e koordinatave në pikat $\displaystyle A,{{A}_{1}},B,{{B}_{1}}$ . Pikëprerjet e tyre janë kule të drejtkëndëshit. Do të pranojmë pa vëertetim që diagonalet e këtij drejtkëndëshi janë asimptota të hiperbolës.