Detyra.Al Detyra.Al

  • Kreu
  • Matematika
    • Matematika 6
    • Matematika 7
    • Matematika 8
    • Matematika 9
    • Matematika 10
    • Matematika 11
    • Matematika 12
  • Fizika
  • Matematika Baze
  • Matura dhe provimi i lirimit
  • Kimia
    • Kimia 8
    • Kimia 9
Home / Elipsi dhe ekuacioni i tij

Elipsi dhe ekuacioni i tij

Elipsi dhe ekuacioni i tij

Elipsi është bashkësia e pikave të planit, shuma e largesave të të cilave nga dy pika të dhëna të planit është madhësi konstante.

Për të nxjerrë ekuacionin e elipsit, zgjedhim si bosht të abshisave drejtëzën që bashkon dy vatrat, ndërsa origjinën e koordinatave e caktojmë në mesin e e segmentit që bashkon vatrat.

qese plastike

Shënojmë me 2c largesën ndërmjet vatrave \displaystyle {{F}_{1}} dhe \displaystyle {{F}_{2}}. Do të kemi \displaystyle {{F}_{1}}\left( -c,0 \right) dhe \displaystyle {{F}_{2}}\left( c,0 \right).

Shënojmë \displaystyle M\left( x,y \right)  një pikë çfarëdo të elipsit. Segmentet \displaystyle M{{F}_{1}} dhe \displaystyle M{{F}_{2}} quhen rreze vatrore të pikës M. gjatësitë e tyre i shënojmë \displaystyle {{r}_{1}} dhe \displaystyle {{r}_{2}}.

elipsi

Kemi \displaystyle {{r}_{1}}={{M}_{1}}=\sqrt{{{\left( x+c \right)}^{2}}+{{y}^{2}}} dhe \displaystyle {{r}_{2}}={{M}_{1}}=\sqrt{{{\left( x-c \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}.

Sipas përkufizimit, shuma \displaystyle {{r}_{1}}+{{r}_{2}} është madhësi konstante. E shënojmë atë me \displaystyle 2a.

Pra, kemi \displaystyle {{r}_{1}}+{{r}_{2}}=2a ose \displaystyle \sqrt{{{\left( x+c \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}=2a.

Ky është ekuacioni i elipsit.

Duke bërë disa shndërrime identike, arrijmë në përfundimin:

\displaystyle \frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1 ku \displaystyle {{b}^{2}}={{a}^{2}}-{{c}^{2}}, i cili quhet ekuacioni më i thjeshtë i elipsit.

 

 

 


 

Shembull 1

Të gjendet ekuacioni i elipsit duke ditur se largesa ndërmjet vatrave është është 10 cm, ndërsa shuma e e rrezeve vatrore është 12 cm.

 

Zgjidhje

Largesa ndërmjet vatrave është 2c, pra \displaystyle 2c=10; \displaystyle c=5.

Shuma e e rrezeve vatrore është 2a, pra \displaystyle 2a=12; \displaystyle a=6.

Nga formula \displaystyle {{b}^{2}}={{a}^{2}}-{{c}^{2}} gjejmë b:

\displaystyle {{b}^{2}}={{6}^{2}}-{{5}^{2}}.

\displaystyle {{b}^{2}}=36-25=11.

Pra, ekuacioni i elipsit është:

\displaystyle \frac{{{x}^{2}}}{36}+\frac{{{y}^{2}}}{11}=1

 

 

 

 

Forma e elipsit

  1. Simetria

Boshtet koordinative janë boshte simetrie për elipsin, ndërsa origjina e koordinatave është qendër simetrie e tij. Kjo quhet qendër e elipsit.

 

  1. Pikat e prerjes me boshtet

Duke marr \displaystyle y=0, kemi \displaystyle \frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}=1, pra \displaystyle x=\pm a. Pikat \displaystyle A\left( -a,0 \right) dhe \displaystyle {{A}_{1}}\left( a,0 \right) janë pikat e prerjes së elipsit me boshtin e abshisave.

 

qese plastike

Duke marr \displaystyle x=0, kemi \displaystyle \frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1, pra \displaystyle y=\pm b. Pikat \displaystyle B\left( -b,0 \right) dhe \displaystyle {{B}_{1}}\left( b,0 \right) janë pikat e prerjes së elipsit me boshtin e ordinatave.

 

Segmenti \displaystyle A{{A}_{1}}=2a quhet boshti i madh, ndërsa segmenti \displaystyle B{{B}_{1}}=2b quhet boshti i vogël i elipsit,.

Madhësitë a dhe b quhen gjysmëboshti i madh dhe gjysmëboshti i vogël i elipsit.

 

  1. Zona e vendosjes
Elipsi ndodhet Brenda brezit të kufizuar nga drejtëzat \displaystyle x=\pm a dhe \displaystyle y=\pm b.

 

  1. Forma e elipsit

Me rritjen e x nga zero në a, y zvogëlohet nga b në zero. Në këtë mënyrë, forma e elipsit është:

 

 

Ushtrimi 1

Shkruani ekuacionin e elipsit kur jepet:

a) \displaystyle a=8 dhe \displaystyle b=7

b) Gjysmëboshtet janë 5 dhe 3.

c) Boshtet janë 8 dhe 4

d) Gjysmëboshti i vogël është 2 dhe largesa ndërmjet vatrave është 8.

 

Zgjidhje

a) Në këtë rast ekuacioni do të jetë:

\displaystyle \frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1

\displaystyle \frac{{{x}^{2}}}{64}+\frac{{{y}^{2}}}{49}=1

 

b) Kurt themi që gjysmëboshtet janë 5 dhe 3, do të thotë që \displaystyle a=5 dhe \displaystyle b=3, pra ekuacioni i elipsit do të jetë:

\displaystyle \frac{{{x}^{2}}}{25}+\frac{{{y}^{2}}}{9}=1

 

c) Boshtet janë 8 dhe 4, pra \displaystyle a=4 dhe \displaystyle b=2. Ekuacioni i elipsit do të jetë:

\displaystyle \frac{{{x}^{2}}}{16}+\frac{{{y}^{2}}}{4}=1

 

d) Gjysmëboshti i vogël është 2 dhe largesa ndërmjet vatrave është 8, pra \displaystyle b=2 dhe \displaystyle 2c=8.

Nga formula \displaystyle {{b}^{2}}={{a}^{2}}-{{c}^{2}} gjejmë a:

\displaystyle {{a}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}}

\displaystyle {{a}^{2}}=4+16=20.

Ekuacioni i elipsit do të jetë:

\displaystyle \frac{{{x}^{2}}}{20}+\frac{{{y}^{2}}}{4}=1

qese plastike

Copyright © detyra.al
Postime te ngjashme:
  • Numrat e ThjeshteNumrat e Thjeshte
  • Matematika 12Matematika 12
  • Matematika 7Matematika 7
  • Matematika 11Matematika 11
  • PesekendeshatPesekendeshat
  • Thyesat AlgjebrikeThyesat Algjebrike
  • Matematika BazeMatematika Baze
  • MatematikaMatematika
  • Formulat e VietesFormulat e Vietes
  • Derivative of sin^2(x)Derivative of sin^2(x)
  • Matematika 6Matematika 6
  • Provimi i lirimitProvimi i lirimit
  • Matematika 10Matematika 10
  • Integrimi me thyesa te pjeseshmeIntegrimi me thyesa te pjeseshme
  • Numrat NatyroreNumrat Natyrore
  • Matematika 8Matematika 8
boshti i madhboshti i vogelekuacioni i elipsitekuacioni më i thjeshtë i elipsitelipsitforma e elipsitPikat e prerjes me boshtetqender e elipsitrreze vatrorerrezja e elipsitsimetria e elipsitvatra e elipsitZona e vendosjesZona e vendosjes se elipsit

Kerko Mesime

Pages

  • Fizika
    • Fizika 7
  • Kimia
    • Kimia 8
    • Kimia 9
  • Kontakt
  • Kreu
  • Matura dhe provimi i lirimit

Sponcor Ju-Ar Plast Sh.P.K

Ju-Ar Plast Sh.P.K

Postime te ngjashme:

  • Matematika Baze
  • Matematika 9
  • Matematika
  • Matematika 7
  • Matematika 12
  • Matematika 6
  • Matematika 8
  • Matematika 10
  • Provimi i lirimit
  • Matematika 11

qese plastike

Ju-Ar Plast Sh.P.K

Na kontaktoni

Detyra.al është një platformë eduktaive online e cila vjen në ndihmë të nxënësve të klasave të 6-12 me leksione, ushtrime dhe teza provimesh.

Email: info@detyra.al