Funksioni y=√x, Grafiku i funksionit | Matematika 10

Funksioni $\displaystyle y=\sqrt{x}$

Do të studiojmë variacionin e funksionit $\displaystyle y=\sqrt{x}$ dhe do të skicojmë grafikun e tij.

$\displaystyle \sqrt{x}$ ka kuptim vetëm për $\displaystyle x\ge 0$ . Prandaj bashkësia e përcaktimit e funksionit $\displaystyle y=\sqrt{x}$ është $\displaystyle \left\{ x\in R/x\ge 0 \right\}={{R}^{+}}$ .

Le të jenë $\displaystyle {{x}_{1}},{{x}_{2}}$ dy numra çfarëdo nga $\displaystyle {{R}^{+}}$ , të tillë që $\displaystyle {{x}_{1}}\ne {{x}_{2}}$ .

Kemi $\displaystyle f\left( {{x}_{1}} \right)=\sqrt{{{x}_{1}}}$ dhe $\displaystyle f\left( {{x}_{2}} \right)=\sqrt{{{x}_{2}}}$ . Prandaj do të kemi:

$\displaystyle \frac{f\left( {{x}_{2}} \right)-f\left( {{x}_{1}} \right)}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}=\frac{\sqrt{{{x}_{2}}}-\sqrt{{{x}_{1}}}}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}$

$\displaystyle =\frac{\left( \sqrt{{{x}_{2}}}-\sqrt{{{x}_{1}}} \right)\left( \sqrt{{{x}_{2}}}+\sqrt{{{x}_{1}}} \right)}{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)\left( \sqrt{{{x}_{2}}}+\sqrt{{{x}_{1}}} \right)}$

$\displaystyle =\frac{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)\left( \sqrt{{{x}_{2}}}+\sqrt{{{x}_{1}}} \right)}$

$\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{{{x}_{2}}}+\sqrt{{{x}_{1}}}}>0$ sepse të paktën njëri prej numrave është pozitiv.

Meqënëse për çdo dy numra $\displaystyle {{x}_{1}},{{x}_{2}}$ nga $\displaystyle {{R}^{+}}$ kemi $\displaystyle \frac{f\left( {{x}_{2}} \right)-f\left( {{x}_{1}} \right)}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}>0$ , atehërë funksioni është rritës në $\displaystyle {{R}^{+}}$ .

Funksioni është i kufizuar nga poshtë në $\displaystyle {{R}^{+}}$ sepse për çdo $\displaystyle x\in {{R}^{+}}$ kemi $\displaystyle \sqrt{x}\ge 0$ .

Funksioni nuk është i kufizuar nga lart në $\displaystyle {{R}^{+}}$ .

Bashkësia e vlerave të funksionit është bashkësia e numrave realë jo negativë, pra $\displaystyle {{R}^{+}}$ . Vlera më e vogël e funksionit është zero, ndërsa vlera më e madhe nuk ekziston.
Pikëpreja e grafikut me boshtin Ox gjendet duke zgjidhur ekuacionet $\displaystyle y=\sqrt{x}$ dhe $\displaystyle y=0$ . Nga këtu del $\displaystyle x=0$ dhe $\displaystyle y=0$ . Kjo është pika O (0, 0).
Gjejmë disa pika të tjera të grafikut të funksionit duke plotësuar tabelën.

x	0	1	4	9
y	0	1	2	3

Grafiku i funksionit $\displaystyle y=\sqrt{x}$ është:

Grafiket e funksioneve $\displaystyle y=\sqrt{x},~x\in {{R}^{+}}$ dhe $\displaystyle y={{x}^{2}},~x\in {{R}^{+}}$ janë simetrike të njëri – tjetrit ndaj drejtëzës $\displaystyle y=x$ .