Derivati i funksionit te rendit te dyte | Matematika 12

Derivati i funksionit te rendit te dyte

Në qoftë se ekziston derivati i funksionit f’ ku $\displaystyle f':y=f'\left( x \right)$ në pikën $\displaystyle x\in I$ , ai quhet derivat i dytë (ose derivat i rendit II) i funksionit f në pikën x dhe shënohet $\displaystyle f''\left( x \right)$

Derivatet e funksioneve y=tgx, y=cotgx

Teoremë: Në çdo pikë $\displaystyle x\in R$ ku $\displaystyle \cos x\ne 0$ , funksioni y=tgx ka derivate dhe ky është $\displaystyle \frac{1}{{{\cos }^{2}}x}$ .

Pra, $\displaystyle \left( tgx \right)'=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}$ .

Rrjedhim: Në çdo pikë $\displaystyle x\in R$ ku $\displaystyle \sin x\ne 0$ , funksioni y=cotgx ka derivate dhe ai është $\displaystyle -\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}$ .

Pra, $\displaystyle \left( cotgx \right)'=-\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}$ .

Zbatime të derivatit të rendit II në fizikë

Le ta zemë se pika materiale kryen lëvizje drejtvizore sipas ligjit $\displaystyle x=x\left( t \right)$ . Kemi parë se shpejtësia e lëvizjes së pikës në çastin t është x’(t). Kemi pra $\displaystyle V=x'\left( t \right)$ .

Nxitimi në çastin a (që përfaqëson shpejtësinë e ndryshimit të shpejtësisë v) është sa derivati $\displaystyle v'\left( a \right)$ i funksionit $\displaystyle V=x'\left( t \right)$ në pikën a, dmth sa $\displaystyle x''\left( a \right)$ .

Pra, nxitimi i pikës material në lëvizjen drejtvizore është sa derivati i dytë i abshisës në lidhje me kohën.

Ushtrime të zgjidhura

Ushtrimi 1

Gjeni derivatin e funksionit y=tgx-cotgx

Zgjidhje

Për të gjetur derivatin e diferencës, mjafton të gjejmë diferencën e derivateve.

$\displaystyle y'=\left( tgx \right)'-\left( cotgx \right)'$

$\displaystyle y'=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}-\left( -\frac{1}{{{\sin }^{2}}x} \right)$

$\displaystyle y'=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}+\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}$

Gjejmë emëruesin e përbashkët:

$\displaystyle y'=\frac{{{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x}{{{\cos }^{2}}x\cdot {{\sin }^{2}}x}$

Nga vetia themelore e trigonometrisë dimë që $\displaystyle {{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x=1$ . Shkruajmë:

$\displaystyle y'=\frac{1}{{{\sin }^{2}}x\cdot {{\cos }^{2}}x}$ .

Ushtrimi 2

Për ç’vlera të x bëhet 0 derivati i funksionit $\displaystyle y=x-tgx$ ?

Zgjidhje

Gjejmë në fillimm derivatin:

$\displaystyle y'=\left( x' \right)-\left( tgx \right)'$

$\displaystyle y'=1-\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}$ , për çdo $\displaystyle \cos x\ne 0$ .

Barazojmë derivatin me 0:

$\displaystyle 1-\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}=0$

$\displaystyle \frac{1}{{{\cos }^{2}}x}=1$

$\displaystyle {{\cos }^{2}}x=1$

$\displaystyle x=k\pi$ .

Ushtrimi 3

Gjeni derivatin e dyte për funksionin f:

a) $\displaystyle y=2{{x}^{5}}-3{{x}^{3}}+5{{x}^{2}}+x-7$

b) $\displaystyle y=\sin x-1$

c) $\displaystyle y=\frac{x-1}{x+1}$

Zgjidhje

a) $\displaystyle y=2{{x}^{5}}-3{{x}^{3}}+5{{x}^{2}}+x-7$

Gjejmë derivatin e parë:

$\displaystyle y'=10{{x}^{4}}-9{{x}^{2}}+10x+1$

Gjejmë derivatin e dyte:

$\displaystyle y''=40{{x}^{3}}-18x+10$

$\displaystyle y''=20{{x}^{3}}-9x+5$

b) $\displaystyle y=\sin x-1$

Gjejmë derivatin e parë:

$\displaystyle y'=\left( \sin x \right)'-\left( 1 \right)'$

$\displaystyle y'=\cos x$

Gjejmë derivatin e dyte:

$\displaystyle y''=\left( \cos x \right)'$

$\displaystyle y''=-\sin x$

c) $\displaystyle y=\frac{x-1}{x+1}$

Gjejmë derivatin e parë:

$\displaystyle y'=\frac{\left( x-1 \right)'\cdot \left( x+1 \right)-\left( x-1 \right)\cdot \left( x+1 \right)'}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}$

$\displaystyle y'=\frac{\left( x+1 \right)-\left( x-1 \right)}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}$

$\displaystyle y'=\frac{2}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}$

Gjejmë derivatin e dyte:

$\displaystyle y''=\frac{\left( 2 \right)'\cdot {{\left( x+1 \right)}^{2}}-2\cdot \left[ {{\left( x+1 \right)}^{2}} \right]'}{{{\left[ {{\left( x+1 \right)}^{2}} \right]}^{2}}}$

$\displaystyle y''=\frac{-2\cdot \left( 2x+2 \right)}{{{\left( x+1 \right)}^{4}}}$

$\displaystyle y''=\frac{-4x-4}{{{\left( x+1 \right)}^{4}}}$

$\displaystyle y''=\frac{-4\left( x+1 \right)}{{{\left( x+1 \right)}^{4}}}$

$\displaystyle y''=\frac{-4}{{{\left( x+1 \right)}^{3}}}$

Ushtrimi 4

Të caktohen koeficientët a,b në mënyrë që funksioni $\displaystyle y=a{{x}^{2}}+bx+5$ të ketë $\displaystyle y'=1$ dhe $\displaystyle y''=1$

Zgjidhje

Gjejmë derivatin e parë:

$\displaystyle y'=2ax+b$

Gjejmë derivatin e dyte:

$\displaystyle y''=2a$

Gjejmë koeficientët a dhe b:

$\displaystyle y''=2a=1$

$\displaystyle a=\frac{1}{2}$

$\displaystyle y'=2\cdot \frac{1}{2}x+b=1$

$\displaystyle x+b=1$

$\displaystyle b=0$

Ushtrimi 5

Një pikë materiale kryen lëvizje drejtvizore gjatë boshtit Ox sipas ligjit $\displaystyle x=\frac{1}{3}{{t}^{3}}-2{{t}^{2}}+3t$ , ku x matet në metra dhe t matet në sekonda.

Në cilin cast nxitimi i pikës është zero?

Zgjidhje

Nga zbatimet e derivatit të rendit të dyte ne fizikë dimë që nxitimi i pikës material në lëvizjen drejtvizore është sa derivati i dytë i abshisës në lidhje me kohën.

Gjejmë në fillim derivatin e parë:

$\displaystyle x'={{t}^{2}}-4t+3$