Varesia ndermjet funksioneve trigonometrike te kendit

Varesia ndërmjet sinα dhe cosα.

Nga teorema e Pitagorës kemi:

$\displaystyle {{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{c}^{2}}$ .

Duke pjesëtuar të dy anët e barazimit me $\displaystyle {{c}^{2}}$ kemi:

$\displaystyle \frac{{{a}^{2}}}{{{c}^{2}}}+\frac{{{b}^{2}}}{{{c}^{2}}}=\frac{{{c}^{2}}}{{{c}^{2}}}$

$\displaystyle {{\left( \frac{a}{c} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{b}{c} \right)}^{2}}=1$ .

Nga përkufizimet e sinusit dhe kosinusit, ne dimë që:

$\displaystyle \frac{a}{c}=\sin \alpha$ dhe $\displaystyle \frac{b}{c}=\cos\alpha$ .

Duke zëvëndësuar, kemi:

$\displaystyle {{\left( \sin \alpha \right)}^{2}}+{{\left( \cos \alpha \right)}^{2}}=1$ .

Shënojmë $\displaystyle {{\left( \sin \alpha \right)}^{2}}={{\sin }^{2}}\alpha$ dhe $\displaystyle {{\left( \cos \alpha \right)}^{2}}={{\cos }^{2}}\alpha$ .

Do të kemi:

$\displaystyle i{{n}^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha =1$ .

Kjo quhet vetia themelore e trigonometrisë.

Varesia ndërmjet tgα, sinα dhe cosα

Ne dimë që $\displaystyle tg\alpha =\frac{a}{b}$ . Duke pjesëtuar numëruesin dhe emëruesin me c, do të kemi:

$\displaystyle tg\alpha =\frac{\frac{a}{c}}{\frac{b}{c}}=\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$ sepse $\displaystyle \frac{a}{c}=\sin \alpha$ dhe $\displaystyle \frac{b}{c}=\cos \alpha$ .

Në të njëjtën mënyrë shkruajmë:

$\displaystyle cotg\alpha =\frac{\frac{b}{c}}{\frac{a}{c}}=\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$ .

Shembull 1

Jepet $\displaystyle \sin \alpha =\frac{2}{3}$ . Gjeni funksionet e tjerë trigonometrike të këndit α.

Zgjidhje

Nga vetia themelore e trigonometrisë, do të shkruajmë:

$\displaystyle {{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha =1$ .

Bëjmë zëvëndësimet:

$\displaystyle {{\left( \frac{2}{3} \right)}^{2}}+{{\cos }^{2}}\alpha =1$

$\displaystyle {{\cos }^{2}}\alpha =1-{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{2}}$

$\displaystyle {{\cos }^{2}}\alpha =1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9}$

$\displaystyle \cos \alpha =\sqrt{\frac{5}{9}}$ .

Gjetëm cosα, tani gjejmë tgα:

$\displaystyle tg\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$

$\displaystyle tg\alpha =\frac{\frac{2}{3}}{\sqrt{\frac{5}{9}}}=\frac{2}{3\sqrt{\frac{5}{9}}}$

Në të njëjtën mënyrë gjejmë cotgα:

$\displaystyle tg\alpha =\frac{\sqrt{\frac{5}{9}}}{\frac{2}{3}}=\frac{3\sqrt{\frac{5}{9}}}{2}$ .

Varesia ndërmjet funksioneve trigonometrike të këndeve plotësuese

Kujtojmë se dy kënde të ngusht quhen plotësues në qoftë se shuma e tyre është 90º.

Shqyrtojmë trekëndëshin në figurë.

Kemi $\displaystyle \alpha +\beta =90{}^\text{o}$ nga ku $\displaystyle \beta =90{}^\text{o}-\text{ }\alpha$ .

Shkruajmë:

$\displaystyle \sin \beta =\sin (90{}^\text{o}-\alpha )=\frac{b}{c}$ dhe $\displaystyle \cos \alpha =\frac{b}{c}$ .

Pra, kemi $\displaystyle sin(90{}^\text{o}-\alpha )=\cos \alpha$

Në të njëjtën mënyrë shkruajmë:

$\displaystyle \cos \beta =\cos \left( 90{}^\text{o}-\alpha \right)=\frac{a}{b}$ dhe $\displaystyle \sin \alpha =\frac{a}{b}$ .

Pra, kemi $\displaystyle cos(90{}^\text{o}-\alpha )=\sin \alpha$ .

Duke analizuar në të njëjtën mënyrë, nxjerrim formulat:

$\displaystyle tan\left( 90{}^\text{o}-\alpha \right)=\cot\alpha$ dhe $\displaystyle cot\left( 90{}^\text{o}-\alpha \right)=\tan\alpha$ .

Pra, përfundimisht kemi përftuar këto formula për këndet plotësues:

$\displaystyle sin(90{}^\text{o}-\alpha )=\cos \alpha$

$\displaystyle cos(90{}^\text{o}-\alpha )=\sin \alpha$

$\displaystyle tan\left( 90{}^\text{o}-\alpha \right)=\cot\alpha$

$\displaystyle cot\left( 90{}^\text{o}-\alpha \right)=\tan\alpha$ .