Parabola dhe ekuacioni i saj | Matematika 12

Parabola simetrike në lidhje me boshtin e abshisave

Parabolë quhet bashkësia e pikave të planit të baraslarguar nga një drejtëz fikse dhe nga një pikë e planit, jashtë kësaj drejtëze.

Drejtëza fikse PQ quhet vijë drejtuese , ndërsa pika fikse F quhet vatër e parabolës. Largesa FA e vatrës nga vija drejtuese shënohet me p dhe quhet parametër i parabolës.

Ky është vizatimi i parabolës në lidhje me boshtin e abshisave.

Për të nxjerr ekuacionin e parabolës, zgjedhim si origjinë të koordinatave mesin O të segmentit AF, ndërsa si bosht abshisash zgjedhim drejtëzën që kalon nga vatra F dhe është pingule me vijën drejtuese. Kemi $\displaystyle F\left( \frac{p}{2},0 \right)$ .

Ekuacioni më i thjeshtë i parabolës është $\displaystyle {{y}^{2}}=2px$ , ku p është parametër i parabolës.

Nëse vatra ndodhet majtas vijës drejtuese kemi $\displaystyle F\left( -\frac{p}{2},0 \right)$ dhe ekuacioni i parabolës është $\displaystyle {{y}^{2}}=-2px$ .

Në qfotë se pika $\displaystyle M\left( x,y \right)$ ndodhet në parabolë, koordinatat e saj vërtetojnë ekuacionin. Anasjelltas, çdo pikë, koordinatat e të cilës vërtetojnë ekuacionin ndodhet në parabolë.

Forma e parabolës

Simetria

Parabola është vijë simetrike në lidhje me boshtin e abshisave. Boshti i abshisave quhet bosht i parabolës.

Zona e vendosjes

Të gjitha pikat e parabolës ndodhen djathtas boshtit të ordinatave.

Pikat e prerjes me boshtet

Për x=0 kemi y=0, që tregon s parabola kalon nga origjina e koordinatave. Pika $\displaystyle O\left( 0,0 \right)$ quhet kulm i parabolës.

Forma e parabolës

Me rritjen e vlerave të x nga 0 në $\displaystyle +\infty$ kemi rritjen e vlerave të y nga 0 në $\displaystyle +\infty$ . Në këtë mënyrë forma e parabolës paraqitet sin ë figurë:

Shembull 1

Të shkruhet ekuacioni i parabolës me qendër në origjinën e koordinatave, simetrike në lidhje me boshtin e abshisave, me vijë drejtuese me ekuacion $\displaystyle x=-2$ dhe vatër $\displaystyle F\left( 2,0 \right)$ .

Zgjidhje

Koordinatat e vatrës janë $\displaystyle F\left( \frac{p}{2},0 \right)$ . Nga kushti shkruajmë:

$\displaystyle \frac{p}{2}=2$

$\displaystyle p=4$ .

Pra, ekuacioni i parabolës është:

$\displaystyle {{y}^{2}}=2\cdot 4\cdot x$

$\displaystyle {{y}^{2}}=8x$

Parabola simetrike në lidhje me boshtin e ordinatave

Në këtë rast OF e zgjedhim si bosht të ordinatave, ndërsa si origjinë të koordinatave zgjedhim përsëri mesin O. Kemi $\displaystyle F\left( 0,\frac{p}{2} \right)$ .

Ekuacioni më i thjeshtë i parabolës në lidhje me boshtin e ordinatave është $\displaystyle {{x}^{2}}=2py$ .

Vija drejtuese PQ e kësaj parabole ka ekuacionin $\displaystyle y=\frac{p}{2}$ .

Nëse si drejtim të boshtit të ordinatave zgjedhim drejtimin nga F në O, atëherë parabola do të ketë ekuacionin $\displaystyle {{x}^{2}}=-2py$ dhe vija drejtuese e saj ka ekuacionin $\displaystyle y=\frac{p}{2}$ .

Shembull 2

Të shkruhet ekuacioni i parabolës, me kulm në qendrën e ordinatave, simetrike në lidhje me boshti n e ordinatave në qoftë se vatra e saj është $\displaystyle F\left( 0,5 \right)$ .