Polinomi. Faktorizimi i polinomeve | Matematika 10

Polinomi

Përkufizim: “Shuma algjebrike e disa monomeve quhet polinom”.

Polinomi mund të jetë me një ose me më shumë ndryshore.

Për shembull, $\displaystyle 2{{x}^{2}}y+3ax-c{{y}^{3}}$ është një polinom.

Përkufizim: “Fuqi absolute të një polinomi do të quajmë fuqinë absolute më të lartë të monomeve të tij”.

Përkufizim: “Polinomi quhet homogjen nëse i kanë monomet të së njëjtës fuqi”.

Përkufizim: “Polinomi quhet i rregullt nëse nuk ka monome të ngjashme”.

Trajta e përgjithshme e një polinomi të fuqisë n më një ndryshore x është:

$\displaystyle P\left( x \right)={{a}_{n}}{{x}^{n}}+{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+{{a}_{n-2}}{{x}^{n-2}}+....+{{a}_{1}}x+{{a}_{0}}$ .

$\displaystyle {{a}_{0}},~{{a}_{1}},~{{a}_{2}},...{{a}_{n-1}},~{{a}_{n}}$ quhen koeficient të polinomit
$\displaystyle {{a}_{n}}{{x}^{n}},~{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}},~{{a}_{n-2}}{{x}^{n-2}}....{{a}_{1}},{{a}_{0}}$ quhen kufiza të polinomit.
$\displaystyle {{a}_{n}}{{x}^{n}}$ quhet kufiza e n-të.
N-ja është fuqi e polinomit
$\displaystyle {{a}_{0}}$ është kufiza e fuqisë zero ose kufiza konstante.

Veprimet me polinomet

Mbledhja e polinomeve

Për të mbledhur polinomet duhet të kemi parasysh:

Duhet të hiqen kllapat.
Nëse para polinomeve ka numër, shumëzohen monomet e polinomit me këtë numër, po të jetë numri pozitiv nuk ndryshohen shenjat e monomeve, nëse numri është negativ ndryshojnë shenjat e monomeve.
Reduktohen monomet e ngjashme.

Shembull 1

Të kryhet mbledhja $\displaystyle \left( 3{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+4x-1 \right)+\left( {{x}^{3}}+x+3 \right)-\left( {{x}^{2}}+1 \right)$

Zgjidhje

$\displaystyle \left( 3{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+4x-1 \right)+\left( {{x}^{3}}+x+3 \right)-\left( {{x}^{2}}+1 \right)$

Heqim kllapat:

$\displaystyle =3{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+4x-1+{{x}^{3}}+x+3-{{x}^{2}}-1$

Reduktojmë monomet e ngjashme:

$\displaystyle =4{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+5x+1$

Shumëzimi i polinomit me monom

Prodhimi i polinomit me monom është shuma e prodhimeve të monomit me çdo monom të polinomit.

Shembull 1

Të kryhet shumëzimi $\displaystyle 2x\left( {{x}^{2}}+2x+4 \right)$

Zgjidhje

$\displaystyle 2x\left( {{x}^{2}}+2x+4 \right)$

$\displaystyle =2x\cdot {{x}^{2}}+2x\cdot 2x+2x\cdot 4$

$\displaystyle =2{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+8x$

Shumëzimi i dy polinomeve

Prodhim i polinomeve është shuma e prodhimeve të monomeve të polinomit të parë me të gjithë monomet e polinomit të dytë. Polinomi që del duhet të sillet në trajtë të rregullt.