Veprimet me thyesa | Shumezimi dhe pjesetimi i thyesave

Shumezimi dhe pjesetimi i thyesave

Shumezimi dhe pjesetimi i thyesave algjebrike bëhet në mënyre analoge si shumezimi dhe pjesetimi i thyesave numerike.

Shembull 1

Kryeni veprimet:

a) $\displaystyle \frac{3a}{2b}\cdot \frac{{{b}^{2}}}{9a}$

b) $\displaystyle \frac{4{{x}^{3}}}{3{{y}^{2}}}\cdot \frac{{{y}^{2}}}{{{x}^{3}}}$

c) $\displaystyle \frac{{{a}^{2}}}{b}:\frac{a}{{{b}^{2}}}$

d) $\displaystyle \frac{2x}{{{y}^{2}}}:\frac{{{x}^{2}}}{y}$

Zgjidhje

a) $\displaystyle \frac{3a}{2b}\cdot \frac{{{b}^{2}}}{9a}=\frac{3a\cdot {{b}^{2}}}{2b\cdot 9a}=\frac{3a{{b}^{2}}}{18ab}$

$\displaystyle \frac{3a}{2b}\cdot \frac{{{b}^{2}}}{9a}=\frac{b}{6}$

b) $\displaystyle \frac{4{{x}^{3}}}{3{{y}^{2}}}\cdot \frac{{{y}^{2}}}{{{x}^{3}}}$

$\displaystyle \frac{4{{x}^{3}}}{3{{y}^{2}}}\cdot \frac{{{y}^{2}}}{{{x}^{3}}}=\frac{4{{x}^{3}}\cdot {{y}^{2}}}{3{{y}^{2}}\cdot {{x}^{3}}}=\frac{4}{3}$

c) $\displaystyle \frac{{{a}^{2}}}{b}:\frac{a}{{{b}^{2}}}$

$\displaystyle \frac{{{a}^{2}}}{b}:\frac{a}{{{b}^{2}}}=\frac{{{a}^{2}}}{b}\cdot \frac{{{b}^{2}}}{a}=\frac{{{a}^{2}}{{b}^{2}}}{ab}=ab$

d) $\displaystyle \frac{2x}{{{y}^{2}}}:\frac{{{x}^{2}}}{y}$

$\displaystyle \frac{2x}{{{y}^{2}}}:\frac{{{x}^{2}}}{y}=\frac{2x}{{{y}^{2}}}\cdot \frac{y}{{{x}^{2}}}=\frac{2xy}{{{x}^{2}}{{y}^{2}}}=\frac{2}{xy}$

Gjatë shumezimit dhe pjesetimit të thyesave, bëhen faktorizime në mënyrë që më pas të bëhen thjeshtimet.

Në fillim do të shkruajmë disa formula të rëndësishmë që përdoren për thjeshtimin e thyesave:

Diferenca e katrorit: $\displaystyle {{a}^{2}}-{{b}^{2}}=\left( a-b \right)\left( a+b \right)$
Katrori i binomit: $\displaystyle {{\left( a+b \right)}^{2}}={{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}$ dhe $\displaystyle {{\left( a-b \right)}^{2}}={{a}^{2}}-2ab+{{b}^{2}}$
Diferenca e kubit: $\displaystyle {{a}^{3}}-{{b}^{3}}=\left( a-b \right)\left( {{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}} \right)$
Shuma e kubit: $\displaystyle {{a}^{3}}+{{b}^{3}}=\left( a+b \right)\left( {{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}} \right)$

Shembull 2

Kryeni veprimet:

a) $\displaystyle \frac{{{x}^{2}}+3x}{3}\cdot \frac{7}{x}$

b) $\displaystyle \frac{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}{a}\cdot \frac{{{a}^{2}}}{x+a}$

c) $\displaystyle \left( 3x+y \right):\frac{3{{x}^{2}}+xy}{9}$

d) $\displaystyle \frac{{{\left( a+b \right)}^{2}}-ab}{{{a}^{3}}-{{b}^{3}}}:\frac{a}{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}$

Zgjidhje

a) $\displaystyle \frac{{{x}^{2}}+3x}{3}\cdot \frac{7}{x}=\frac{x\left( x+3 \right)}{3}\cdot \frac{7}{x}$

$\displaystyle =\frac{7x\left( x+3 \right)}{3x}=\frac{7\left( x+3 \right)}{3}=\frac{7}{3}\left( x+3 \right)$

b) $\displaystyle \frac{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}{a}\cdot \frac{{{a}^{2}}}{x+a}=\frac{\left( x+a \right)\left( x-a \right)}{a}\cdot \frac{{{a}^{2}}}{x+a}$ (diferenca e katrorit)

thjeshtojmë x-a dhe do të kemi:

$\displaystyle \frac{\left( x-a \right)\cdot {{a}^{2}}}{a}=a\left( x-a \right)$

c) $\displaystyle \left( 3x+y \right):\frac{3{{x}^{2}}+xy}{9}=\left( 3x+y \right):\frac{x\left( 3x+y \right)}{9}$

$\displaystyle =\left( 3x+y \right)\cdot \frac{9}{x\left( 3x+y \right)}$

Thjeshtojmë 3x+y:

$\displaystyle =\frac{9}{x}$

d) $\displaystyle \frac{{{\left( a+b \right)}^{2}}-ab}{{{a}^{3}}-{{b}^{3}}}:\frac{a}{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}$

$\displaystyle =\frac{{{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}-ab}{\left( a-b \right)\left( {{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}} \right)}:\frac{a}{\left( a-b \right)\left( a+b \right)}$

$\displaystyle =\frac{{{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}}}{\left( a-b \right)\left( {{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}} \right)}\cdot \frac{\left( a-b \right)\left( a+b \right)}{a}$

$\displaystyle =\frac{1\cdot \left( a-b \right)\left( a+b \right)}{\left( a-b \right)\cdot a}$

$\displaystyle =\frac{a+b}{a}$

Shprehje me katër veprime

Ashtu si tek shprehjet numerike, edhe tek shprehjet algjebrike veprimet kryhen sipas radhës (shprehjet në kllapa, fuqitë, shumezimi dhe pjesetimi, mbledhja dhe zbritja).

Shembull 1

Kryeni veprimet:

$\displaystyle \frac{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}{6}+\frac{{{\left( x-y \right)}^{2}}}{12}-\frac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{4}$

Zgjidhje

$\displaystyle \frac{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}{6}+\frac{{{\left( x-y \right)}^{2}}}{12}-\frac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{4}$

Në fillim i kthejmë thyesat me emërues të njejtë:

$\displaystyle =\frac{2{{\left( x+2 \right)}^{2}}}{12}+\frac{{{\left( x-y \right)}^{2}}}{12}-\frac{3\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)}{12}$

Zbërtehjmë shprehjet:

$\displaystyle =\frac{2\left( {{x}^{2}}+4x+4 \right)+{{\left( {{x}^{2}}-2xy+y \right)}^{2}}-3\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)}{12}$

Reduktojmë monomet e ngjashme:

$\displaystyle =\frac{\left( 2{{x}^{2}}+{{x}^{2}}-3{{x}^{2}} \right)+8x-2xy-3{{y}^{2}}+8}{12}$

$\displaystyle =\frac{8x+2xy-3{{y}^{2}}+8}{12}$