Detyra.Al Detyra.Al

  • Kreu
  • Matematika
    • Matematika 6
    • Matematika 7
    • Matematika 8
    • Matematika 9
    • Matematika 10
    • Matematika 11
    • Matematika 12
  • Fizika
  • Matematika Baze
  • Matura dhe provimi i lirimit
  • Kimia
    • Kimia 8
    • Kimia 9
Home / Ushtrime te zgjidhura – Integrali i caktuar

Ushtrime te zgjidhura – Integrali i caktuar

Ushtrime te zgjidhura – Integrali i caktuar

Ushtrimi 1

Të njehsohen integralet:

a) \displaystyle \int\limits_{0}^{1}{\left( 2x+5 \right)dx}

b) \displaystyle \int\limits_{0}^{2}{{{\left( 2x-4 \right)}^{2}}dx}

c) \displaystyle \int\limits_{1}^{2}{\frac{dx}{{{x}^{2}}}dx}

qese plastike

 

Zgjidhje

a) \displaystyle \int\limits_{0}^{1}{\left( 2x+5 \right)dx}

Zbatojmë vetitë e integralit të caktuar:

\displaystyle \int\limits_{0}^{1}{\left( 2x+5 \right)dx}=2\int\limits_{0}^{1}{xdx+5}\int\limits_{0}^{2}{dx}

\displaystyle =2\cdot \frac{{{x}^{2}}}{2}|_{0}^{1}+5\cdot x|_{0}^{1}

\displaystyle =\left( {{x}^{2}}+5x \right)|_{0}^{1}

\displaystyle =1+5-0=6

 

b) \displaystyle \int\limits_{0}^{2}{{{\left( 2x-4 \right)}^{2}}dx}

\displaystyle \int\limits_{0}^{2}{{{\left( 2x-4 \right)}^{2}}dx}=\int\limits_{0}^{2}{\left( 4{{x}^{2}}-16x+16 \right)}dx

\displaystyle =4\int\limits_{0}^{2}{\left( {{x}^{2}}-4x+4 \right)}dx

\displaystyle =4\left( \frac{{{x}^{3}}}{3}-4\frac{{{x}^{2}}}{2}+4x \right)|_{0}^{2}

\displaystyle =4\left( \frac{{{x}^{3}}}{3}-2{{x}^{2}}+4x \right)|_{0}^{2}

\displaystyle =4\left( \frac{8}{3}-2\cdot 4+4\cdot 2 \right)-0

\displaystyle =\frac{32}{3}-32+32

\displaystyle =\frac{32}{3}

 

c) \displaystyle \int\limits_{1}^{2}{\frac{dx}{{{x}^{2}}}dx}

Nga tabela e integraleve themelore shkruajmë:

\displaystyle \int\limits_{1}^{2}{\frac{dx}{{{x}^{2}}}dx}=-\frac{1}{x}|_{1}^{2}

\displaystyle =-\frac{1}{2}-\left( -\frac{1}{1} \right)=\frac{1}{2}

 

 

 

 

 

 

 

Ushtrimi 2

Të njehsohet integrali \displaystyle \int\limits_{1}^{3}{\frac{3{{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+x-3}{{{x}^{2}}}dx}

 

qese plastike

Zgjidhje

\displaystyle \int\limits_{1}^{3}{\frac{3{{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+x-3}{{{x}^{2}}}dx}

\displaystyle =3\int\limits_{1}^{3}{\frac{{{x}^{4}}}{{{x}^{2}}}dx-}3\int\limits_{1}^{3}{\frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}}dx}+\int\limits_{1}^{2}{\frac{x}{{{x}^{2}}}}dx-3\int\limits_{1}^{3}{\frac{dx}{{{x}^{2}}}}

\displaystyle =3\int\limits_{1}^{3}{{{x}^{2}}dx-}3\int\limits_{1}^{3}{dx}+\int\limits_{1}^{2}{\frac{dx}{x}}-3\int\limits_{1}^{3}{\frac{dx}{{{x}^{2}}}}

\displaystyle =\left( 3\frac{{{x}^{3}}}{3}-3x+\ln |x|+\frac{1}{x} \right)|_{1}^{3}

\displaystyle =\left( {{x}^{3}}-3x+\ln |x|+\frac{1}{x} \right)|_{1}^{3}

\displaystyle =\left( 27-9+\ln 3+\frac{1}{3} \right)-\left( 1-3+\ln 1+1 \right)

\displaystyle =18+\ln 3+\frac{1}{3}+1=19+\ln 3+\frac{1}{3}

 

 

 

 

 

Ushtrimi 3

Të njehsohen integralet:

a) \displaystyle \int\limits_{0}^{1}{\left( 3{{x}^{2}}-4x+2 \right)dx}

b) \displaystyle \int\limits_{1}^{2}{\frac{3{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+2}{x}dx}

c) \displaystyle \int\limits_{0}^{1}{\frac{xdx}{{{x}^{2}}+1}}

 

Zgjidhje

a) \displaystyle \int\limits_{0}^{1}{\left( 3{{x}^{2}}-4x+2 \right)dx}=\left( 3\frac{{{x}^{3}}}{3}-4\frac{{{x}^{2}}}{2}+2x \right)|_{0}^{1}

\displaystyle =\left( {{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+2x \right)|_{0}^{1}

\displaystyle =1-2+2-0=1

 

b) \displaystyle \int\limits_{1}^{2}{\frac{3{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+2}{x}dx}

\displaystyle =\int\limits_{1}^{2}{\frac{3{{x}^{3}}}{x}dx}-\int\limits_{1}^{2}{\frac{2{{x}^{2}}}{x}dx}+\int\limits_{1}^{2}{\frac{2}{x}dx}

\displaystyle =\int\limits_{1}^{2}{\left( 3{{x}^{2}}-2x+\frac{2}{x} \right)}dx

\displaystyle =\left( \frac{3{{x}^{3}}}{3}-\frac{2{{x}^{2}}}{2}+2\ln |x| \right)|_{1}^{2}

\displaystyle =\left( {{x}^{3}}-{{x}^{2}}+2\ln |x| \right)|_{1}^{2}

\displaystyle =\left( {{2}^{3}}-{{2}^{2}}+2\ln 2 \right)-\left( 1-1+2\ln 1 \right)

\displaystyle =4+2\ln 2

 

c) \displaystyle \int\limits_{0}^{1}{\frac{xdx}{{{x}^{2}}+1}}

\displaystyle \int\limits_{0}^{1}{\frac{d\left( {{x}^{2}}+1 \right)}{{{x}^{2}}+1}}=\ln |{{x}^{2}}+1||_{0}^{1}

\displaystyle =\ln |1+1|-\ln |0+1|=ln2

 

 

 

 

Ushtrimi 4

Të llogaritet sipërfaqja e figurës plane të kufizuar nga grafiku i funksionit \displaystyle y=x, boshti i abshisave dhe drejtëzat \displaystyle x=2 dhe \displaystyle x=4.

 

Zgjidhje

Për të gjetur sipërfaqen e figurës plane e kemi shume kollaj, sepse kemi funksionin si dhe kufijtë e integrimit. Shkruajmë:

\displaystyle \int\limits_{2}^{4}{xdx=\frac{{{x}^{2}}}{2}}|_{2}^{4}

\displaystyle =\frac{{{4}^{2}}}{2}-\frac{{{2}^{2}}}{2}=8-4=4

 

 

 

 

 

Ushtrimi 5

Të llogaritet sipërfaqja e figurës së kufizuar nga drejtëzat \displaystyle y=-x ; \displaystyle y=0 ; \displaystyle x=2 dhe \displaystyle x=4.

 

Zgjidhje

Kemi funksionin dhe kufijtë e integrimit të përcaktuar, ndaj shkruajmë:

\displaystyle \int\limits_{2}^{4}{-xdx=-}\int\limits_{2}^{4}{xdx}=-\frac{{{x}^{2}}}{2}|_{2}^{4}

\displaystyle =|-\frac{16}{2}+\frac{4}{2}|=6

 

 

 

 

 

Ushtrimi 6

Të llogaritet sipërfaqja e figurave plane të kufizuar nga vijat:

a) \displaystyle y=1-{{x}^{2}} dhe \displaystyle y={{x}^{2}}-1

b) \displaystyle y={{x}^{2}}+1 dhe \displaystyle y=3-{{x}^{2}}

c) \displaystyle y={{x}^{2}} dhe \displaystyle y=3x-2

d) \displaystyle y={{x}^{2}} dhe \displaystyle y=8-{{x}^{2}}

 

Zgjidhje

a) \displaystyle y=1-{{x}^{2}} dhe \displaystyle y={{x}^{2}}-1

Gjejmë kufijtë e integrimit, duke gjetur pikën e përbashkët të dy funksioneve:

ushtrime te zgjidhura - integrali i caktuar

Ndërtojmë grafikët e funksioneve:

Siç shihet nga figura, për intervalin \displaystyle \left[ -1,1 \right], kemi \displaystyle 1-{{x}^{2}}>{{x}^{2}}-1, prandaj do të kemi:

\displaystyle \int\limits_{-1}^{1}{\left[ \left( 1-{{x}^{2}} \right)-\left( {{x}^{2}}-1 \right) \right]}dx=\int\limits_{-1}^{1}{\left( 2-2{{x}^{2}} \right)}dx

\displaystyle =\left( 2x-2\frac{{{x}^{3}}}{3} \right)|_{-1}^{1}

\displaystyle =\left( -2+\frac{2}{3} \right)-\left( 2-\frac{2}{3} \right)

\displaystyle =-4+\frac{4}{3}=\frac{8}{3}

 

b) \displaystyle y={{x}^{2}}+1 dhe \displaystyle y=3-{{x}^{2}}

Gjejmë kufijtë e integrimit, duke gjetur pikën e përbashkët të dy funksioneve:

Ndërtojmë grafikët e funksioneve:

Siç shihet në figurë, në intervalin \displaystyle \left[ -1,1 \right], kemi \displaystyle 3-{{x}^{2}}>{{x}^{2}}+1, kështu formohet integrali:

\displaystyle \int\limits_{-1}^{1}{\left[ \left( 3-{{x}^{2}} \right)-\left( {{x}^{2}}+1 \right) \right]}dx

\displaystyle =\int\limits_{-1}^{1}{\left( 2-2{{x}^{2}} \right)}dx=\left( 2x-2\frac{{{x}^{3}}}{3} \right)|_{-1}^{1}

\displaystyle =\left( 2-\frac{2}{3} \right)-\left( -2+\frac{2}{3} \right)

\displaystyle =4-\frac{4}{3}=\frac{8}{3}

 

c) \displaystyle y={{x}^{2}} dhe \displaystyle y=3x-2

Gjejmë kufijtë e integrimit, duke gjetur pikën e përbashkët të dy funksioneve:

Ndërtojmë grafikët e funksioneve:

Siç shihet në figurë, në intervalin \displaystyle \left[ 1,2 \right] kemi \displaystyle 3x-2>{{x}^{2}}, kështu formohet integrali:

\displaystyle \int\limits_{1}^{2}{\left( 3x-2-{{x}^{2}} \right)}dx

\displaystyle =\left( 3\frac{{{x}^{2}}}{2}-2x-\frac{{{x}^{3}}}{3} \right)|_{1}^{2}

\displaystyle =\left( 3\cdot \frac{4}{2}-2\cdot 2-\frac{{{2}^{3}}}{3} \right)-\left( \frac{3}{2}-2-\frac{1}{2} \right)

\displaystyle =2-\frac{8}{3}+1=3-\frac{8}{3}=\frac{19}{3}

 

 

d) \displaystyle y={{x}^{2}} dhe \displaystyle y=8-{{x}^{2}}

Gjejmë kufijtë e integrimit, duke gjetur pikën e përbashkët të dy funksioneve:

Ndërtojmë grafikët e funksioneve:

Siç shihet në figurë, në intervalin \displaystyle \left[ -2,2 \right] kemi \displaystyle 8-{{x}^{2}}>{{x}^{2}}, kështu formohet integrali:

\displaystyle \int\limits_{-2}^{2}{\left( 8-{{x}^{2}}-{{x}^{2}} \right)}dx=\int\limits_{-2}^{2}{\left( 8-2{{x}^{2}} \right)}dx

\displaystyle =\left( 8x-2\frac{{{x}^{3}}}{3} \right)|_{-2}^{2}

\displaystyle =16-2\frac{8}{3}-\left( -16+2\frac{8}{3} \right)

\displaystyle =32-\frac{32}{3}=\frac{64}{3}

qese plastike

Copyright © detyra.al
Postime te ngjashme:
  • Numrat e ThjeshteNumrat e Thjeshte
  • Matematika 7Matematika 7
  • Matematika 10Matematika 10
  • Thyesat AlgjebrikeThyesat Algjebrike
  • Numrat NatyroreNumrat Natyrore
  • Derivative of sin^2(x)Derivative of sin^2(x)
  • Matematika 12Matematika 12
  • Integrimi me thyesa te pjeseshmeIntegrimi me thyesa te pjeseshme
  • PesekendeshatPesekendeshat
  • Matematika 9Matematika 9
  • Matematika 8Matematika 8
  • Matematika BazeMatematika Baze
  • Matematika 6Matematika 6
  • MatematikaMatematika
  • Matematika 11Matematika 11
  • Formulat e VietesFormulat e Vietes
Integrali i caktuartabela e integraleveUshtrime te zgjidhura Integrali i caktuarushtrime te zgjidhura matematike

Kerko Mesime

Pages

  • Fizika
    • Fizika 7
  • Kimia
    • Kimia 8
    • Kimia 9
  • Kontakt
  • Kreu
  • Matura dhe provimi i lirimit

Sponcor Ju-Ar Plast Sh.P.K

Ju-Ar Plast Sh.P.K

Postime te ngjashme:

  • Matematika 6
  • Matematika 12
  • Provimi i lirimit
  • Matematika 7
  • Matematika 11
  • Matematika 10
  • Matematika 8
  • Matematika Baze
  • Matematika 9
  • Matematika

qese plastike

Ju-Ar Plast Sh.P.K

Na kontaktoni

Detyra.al është një platformë eduktaive online e cila vjen në ndihmë të nxënësve të klasave të 6-12 me leksione, ushtrime dhe teza provimesh.

Email: info@detyra.al