Ushtrime te zgjidhura – Integrali i caktuar

Ushtrime te zgjidhura – Integrali i caktuar

Ushtrimi 1

Të njehsohen integralet:

a) $\displaystyle \int\limits_{0}^{1}{\left( 2x+5 \right)dx}$

b) $\displaystyle \int\limits_{0}^{2}{{{\left( 2x-4 \right)}^{2}}dx}$

c) $\displaystyle \int\limits_{1}^{2}{\frac{dx}{{{x}^{2}}}dx}$

Zgjidhje

a) $\displaystyle \int\limits_{0}^{1}{\left( 2x+5 \right)dx}$

Zbatojmë vetitë e integralit të caktuar:

$\displaystyle \int\limits_{0}^{1}{\left( 2x+5 \right)dx}=2\int\limits_{0}^{1}{xdx+5}\int\limits_{0}^{2}{dx}$

$\displaystyle =2\cdot \frac{{{x}^{2}}}{2}|_{0}^{1}+5\cdot x|_{0}^{1}$

$\displaystyle =\left( {{x}^{2}}+5x \right)|_{0}^{1}$

$\displaystyle =1+5-0=6$

b) $\displaystyle \int\limits_{0}^{2}{{{\left( 2x-4 \right)}^{2}}dx}$

$\displaystyle \int\limits_{0}^{2}{{{\left( 2x-4 \right)}^{2}}dx}=\int\limits_{0}^{2}{\left( 4{{x}^{2}}-16x+16 \right)}dx$

$\displaystyle =4\int\limits_{0}^{2}{\left( {{x}^{2}}-4x+4 \right)}dx$

$\displaystyle =4\left( \frac{{{x}^{3}}}{3}-4\frac{{{x}^{2}}}{2}+4x \right)|_{0}^{2}$

$\displaystyle =4\left( \frac{{{x}^{3}}}{3}-2{{x}^{2}}+4x \right)|_{0}^{2}$

$\displaystyle =4\left( \frac{8}{3}-2\cdot 4+4\cdot 2 \right)-0$

$\displaystyle =\frac{32}{3}-32+32$

$\displaystyle =\frac{32}{3}$

c) $\displaystyle \int\limits_{1}^{2}{\frac{dx}{{{x}^{2}}}dx}$

Nga tabela e integraleve themelore shkruajmë:

$\displaystyle \int\limits_{1}^{2}{\frac{dx}{{{x}^{2}}}dx}=-\frac{1}{x}|_{1}^{2}$

$\displaystyle =-\frac{1}{2}-\left( -\frac{1}{1} \right)=\frac{1}{2}$

Ushtrimi 2

Të njehsohet integrali $\displaystyle \int\limits_{1}^{3}{\frac{3{{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+x-3}{{{x}^{2}}}dx}$

Zgjidhje

$\displaystyle \int\limits_{1}^{3}{\frac{3{{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+x-3}{{{x}^{2}}}dx}$

$\displaystyle =3\int\limits_{1}^{3}{\frac{{{x}^{4}}}{{{x}^{2}}}dx-}3\int\limits_{1}^{3}{\frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}}dx}+\int\limits_{1}^{2}{\frac{x}{{{x}^{2}}}}dx-3\int\limits_{1}^{3}{\frac{dx}{{{x}^{2}}}}$

$\displaystyle =3\int\limits_{1}^{3}{{{x}^{2}}dx-}3\int\limits_{1}^{3}{dx}+\int\limits_{1}^{2}{\frac{dx}{x}}-3\int\limits_{1}^{3}{\frac{dx}{{{x}^{2}}}}$

$\displaystyle =\left( 3\frac{{{x}^{3}}}{3}-3x+\ln |x|+\frac{1}{x} \right)|_{1}^{3}$

$\displaystyle =\left( {{x}^{3}}-3x+\ln |x|+\frac{1}{x} \right)|_{1}^{3}$

$\displaystyle =\left( 27-9+\ln 3+\frac{1}{3} \right)-\left( 1-3+\ln 1+1 \right)$

$\displaystyle =18+\ln 3+\frac{1}{3}+1=19+\ln 3+\frac{1}{3}$

Ushtrimi 3

Të njehsohen integralet:

a) $\displaystyle \int\limits_{0}^{1}{\left( 3{{x}^{2}}-4x+2 \right)dx}$

b) $\displaystyle \int\limits_{1}^{2}{\frac{3{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+2}{x}dx}$

c) $\displaystyle \int\limits_{0}^{1}{\frac{xdx}{{{x}^{2}}+1}}$

Zgjidhje

a) $\displaystyle \int\limits_{0}^{1}{\left( 3{{x}^{2}}-4x+2 \right)dx}=\left( 3\frac{{{x}^{3}}}{3}-4\frac{{{x}^{2}}}{2}+2x \right)|_{0}^{1}$

$\displaystyle =\left( {{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+2x \right)|_{0}^{1}$

$\displaystyle =1-2+2-0=1$

b) $\displaystyle \int\limits_{1}^{2}{\frac{3{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+2}{x}dx}$

$\displaystyle =\int\limits_{1}^{2}{\frac{3{{x}^{3}}}{x}dx}-\int\limits_{1}^{2}{\frac{2{{x}^{2}}}{x}dx}+\int\limits_{1}^{2}{\frac{2}{x}dx}$

$\displaystyle =\int\limits_{1}^{2}{\left( 3{{x}^{2}}-2x+\frac{2}{x} \right)}dx$

$\displaystyle =\left( \frac{3{{x}^{3}}}{3}-\frac{2{{x}^{2}}}{2}+2\ln |x| \right)|_{1}^{2}$

$\displaystyle =\left( {{x}^{3}}-{{x}^{2}}+2\ln |x| \right)|_{1}^{2}$

$\displaystyle =\left( {{2}^{3}}-{{2}^{2}}+2\ln 2 \right)-\left( 1-1+2\ln 1 \right)$

$\displaystyle =4+2\ln 2$

c) $\displaystyle \int\limits_{0}^{1}{\frac{xdx}{{{x}^{2}}+1}}$

$\displaystyle \int\limits_{0}^{1}{\frac{d\left( {{x}^{2}}+1 \right)}{{{x}^{2}}+1}}=\ln |{{x}^{2}}+1||_{0}^{1}$

$\displaystyle =\ln |1+1|-\ln |0+1|=ln2$

Ushtrimi 4

Të llogaritet sipërfaqja e figurës plane të kufizuar nga grafiku i funksionit $\displaystyle y=x$ , boshti i abshisave dhe drejtëzat $\displaystyle x=2$ dhe $\displaystyle x=4$ .

Zgjidhje

Për të gjetur sipërfaqen e figurës plane e kemi shume kollaj, sepse kemi funksionin si dhe kufijtë e integrimit. Shkruajmë:

$\displaystyle \int\limits_{2}^{4}{xdx=\frac{{{x}^{2}}}{2}}|_{2}^{4}$

$\displaystyle =\frac{{{4}^{2}}}{2}-\frac{{{2}^{2}}}{2}=8-4=4$

Ushtrimi 5

Të llogaritet sipërfaqja e figurës së kufizuar nga drejtëzat $\displaystyle y=-x$ ; $\displaystyle y=0$ ; $\displaystyle x=2$ dhe $\displaystyle x=4$ .

Zgjidhje

Kemi funksionin dhe kufijtë e integrimit të përcaktuar, ndaj shkruajmë:

$\displaystyle \int\limits_{2}^{4}{-xdx=-}\int\limits_{2}^{4}{xdx}=-\frac{{{x}^{2}}}{2}|_{2}^{4}$

$\displaystyle =|-\frac{16}{2}+\frac{4}{2}|=6$

Ushtrimi 6

Të llogaritet sipërfaqja e figurave plane të kufizuar nga vijat:

a) $\displaystyle y=1-{{x}^{2}}$ dhe $\displaystyle y={{x}^{2}}-1$

b) $\displaystyle y={{x}^{2}}+1$ dhe $\displaystyle y=3-{{x}^{2}}$

c) $\displaystyle y={{x}^{2}}$ dhe $\displaystyle y=3x-2$

d) $\displaystyle y={{x}^{2}}$ dhe $\displaystyle y=8-{{x}^{2}}$

Zgjidhje

a) $\displaystyle y=1-{{x}^{2}}$ dhe $\displaystyle y={{x}^{2}}-1$

Gjejmë kufijtë e integrimit, duke gjetur pikën e përbashkët të dy funksioneve:

Ndërtojmë grafikët e funksioneve:

Siç shihet nga figura, për intervalin $\displaystyle \left[ -1,1 \right]$ , kemi $\displaystyle 1-{{x}^{2}}>{{x}^{2}}-1$ , prandaj do të kemi:

$\displaystyle \int\limits_{-1}^{1}{\left[ \left( 1-{{x}^{2}} \right)-\left( {{x}^{2}}-1 \right) \right]}dx=\int\limits_{-1}^{1}{\left( 2-2{{x}^{2}} \right)}dx$

$\displaystyle =\left( 2x-2\frac{{{x}^{3}}}{3} \right)|_{-1}^{1}$

$\displaystyle =\left( -2+\frac{2}{3} \right)-\left( 2-\frac{2}{3} \right)$

$\displaystyle =-4+\frac{4}{3}=\frac{8}{3}$

b) $\displaystyle y={{x}^{2}}+1$ dhe $\displaystyle y=3-{{x}^{2}}$

Gjejmë kufijtë e integrimit, duke gjetur pikën e përbashkët të dy funksioneve:

Ndërtojmë grafikët e funksioneve:

Siç shihet në figurë, në intervalin $\displaystyle \left[ -1,1 \right]$ , kemi $\displaystyle 3-{{x}^{2}}>{{x}^{2}}+1$ , kështu formohet integrali:

$\displaystyle \int\limits_{-1}^{1}{\left[ \left( 3-{{x}^{2}} \right)-\left( {{x}^{2}}+1 \right) \right]}dx$

$\displaystyle =\int\limits_{-1}^{1}{\left( 2-2{{x}^{2}} \right)}dx=\left( 2x-2\frac{{{x}^{3}}}{3} \right)|_{-1}^{1}$

$\displaystyle =\left( 2-\frac{2}{3} \right)-\left( -2+\frac{2}{3} \right)$

$\displaystyle =4-\frac{4}{3}=\frac{8}{3}$

c) $\displaystyle y={{x}^{2}}$ dhe $\displaystyle y=3x-2$

Gjejmë kufijtë e integrimit, duke gjetur pikën e përbashkët të dy funksioneve:

Ndërtojmë grafikët e funksioneve:

Siç shihet në figurë, në intervalin $\displaystyle \left[ 1,2 \right]$ kemi $\displaystyle 3x-2>{{x}^{2}}$ , kështu formohet integrali:

$\displaystyle \int\limits_{1}^{2}{\left( 3x-2-{{x}^{2}} \right)}dx$

$\displaystyle =\left( 3\frac{{{x}^{2}}}{2}-2x-\frac{{{x}^{3}}}{3} \right)|_{1}^{2}$

$\displaystyle =\left( 3\cdot \frac{4}{2}-2\cdot 2-\frac{{{2}^{3}}}{3} \right)-\left( \frac{3}{2}-2-\frac{1}{2} \right)$

$\displaystyle =2-\frac{8}{3}+1=3-\frac{8}{3}=\frac{19}{3}$

d) $\displaystyle y={{x}^{2}}$ dhe $\displaystyle y=8-{{x}^{2}}$

Gjejmë kufijtë e integrimit, duke gjetur pikën e përbashkët të dy funksioneve:

Ndërtojmë grafikët e funksioneve:

Siç shihet në figurë, në intervalin $\displaystyle \left[ -2,2 \right]$ kemi $\displaystyle 8-{{x}^{2}}>{{x}^{2}}$ , kështu formohet integrali:

$\displaystyle \int\limits_{-2}^{2}{\left( 8-{{x}^{2}}-{{x}^{2}} \right)}dx=\int\limits_{-2}^{2}{\left( 8-2{{x}^{2}} \right)}dx$

$\displaystyle =\left( 8x-2\frac{{{x}^{3}}}{3} \right)|_{-2}^{2}$

$\displaystyle =16-2\frac{8}{3}-\left( -16+2\frac{8}{3} \right)$

$\displaystyle =32-\frac{32}{3}=\frac{64}{3}$