Home / Ushtrime te zgjidhura – Identitetet trigonometrike

Ushtrime te zgjidhura – Identitetet trigonometrike

Identitetet - formula themelore

Identitetet trigonometrike

Kujtojmë dhe njëherë identitetet kryesore trigonometrike:

  1. Formula themelore:  {{\sin }^{2}}x+co{{x}^{2}}x=1
  2. Shprehje e cosx nëpërmjet tgx: \displaystyle {{\cos }^{2}}x=\frac{1}{{1+t{{g}^{2}}x}}

Kemi dhe identitetet për reduktimin e funksioneve trigonometrike.

 

 

 

Ushtrimi 1

Gjeni cosx duke ditur që sinx është \frac{1}{2} dhe x është me mbarim në kuadratin e tretë.

 

Zgjidhje

Meqë x ndodhet në kuadratin e tretë, vlera e cosx do të jetë negative.

Zbatojmë vetinë themelore për gjetjen e vlerës së cosx:

{{\sin }^{2}}x+co{{x}^{2}}x=1

co{{x}^{2}}x=1-{{\sin }^{2}}x

Bëjmë zëvëndësimet:

co{{x}^{2}}x=1-{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{2}}

co{{x}^{2}}x=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}

\cos x=-\sqrt{{\frac{3}{4}}}=-\frac{{\sqrt{3}}}{{\sqrt{4}}}=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}.

 


 

Ushtrimi 2

Gjeni vlerën e tgx kur jepet \sin x=\frac{{\sqrt{2}}}{2} dhe x me mbarim në kuadratin e parë.

 

Zgjidhje

Meqë x është me mbarim në kuadratin e parë, vlerat e sinx dhe cosx janë positive, ndaj dhe vlera e tgx do të jetë positive.

Nga formula themelore gjejmë vlerën e cosx dhe më pas gjejmë raportin \frac{{\sin x}}{{\cos x}} për të gjetur vlerën e tgx:

{{\sin }^{2}}x+co{{x}^{2}}x=1

\displaystyle co{{x}^{2}}x=1-{{\sin }^{2}}x

\displaystyle co{{x}^{2}}x=1-{{\left( {\frac{{\sqrt{2}}}{2}} \right)}^{2}}

\displaystyle co{{x}^{2}}x=1-\frac{2}{4}=\frac{1}{2}

\displaystyle \cos x=\sqrt{{\frac{1}{2}}}=\frac{{\sqrt{1}}}{{\sqrt{2}}}=\frac{1}{{\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}

 

Tani gjejmë vlerën e tgx:

\displaystyle tgx=\frac{{\sin x}}{{\cos x}}

\displaystyle tgx=\frac{{\frac{{\sqrt{2}}}{2}}}{{\frac{{\sqrt{2}}}{2}}}=1.

 

 

 

Ushtrimi 3

Jepet \displaystyle tgx=\frac{{\sqrt{3}}}{3}. Gjeni vlerën e cosx duke ditur që x është me mbarim në kuadratin e katërt.

 

Zgjidhje

Meqë x është me mbarim në kuadratin e katërt, vlera e cosx do të jetë positive.

Për të gjetur vlerën e cosx zbatojmë formulën:

\displaystyle {{\cos }^{2}}x=\frac{1}{{1+t{{g}^{2}}x}}

\displaystyle {{\cos }^{2}}x=\frac{1}{{1+{{{\left( {\frac{{\sqrt{3}}}{3}} \right)}}^{2}}}}

\displaystyle {{\cos }^{2}}x=\frac{1}{{1+\frac{3}{9}}}=\frac{1}{{1+\frac{1}{3}}}=\frac{1}{{\frac{4}{3}}}=\frac{3}{4}

\displaystyle \cos x=\sqrt{{\frac{3}{4}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}

 

 

 

Ushtrimi 4

Gjeni vlerën e sinx duke ditur \displaystyle tgx=\sqrt{3} dhe x është me mbarim në kuadratin e tretë.

 

Zgjidhje

Meqë x është me mbarim në kuadratin e tretë, vlera e sinx dhe cosx do të jetë negative.

Gjejmë në fillim cosx:

Zbatojmë formulën që shpreh cosx nëpërmjet tgx:

\displaystyle co{{s}^{2}}x=\frac{1}{1+t{{g}^{2}}x}

Bëjmë zëvëndësimet:

\displaystyle co{{s}^{2}}x=\frac{1}{1+{{\left( \sqrt{3} \right)}^{2}}}

\displaystyle co{{s}^{2}}x=\frac{1}{1+3}=\frac{1}{4}

\displaystyle \cos x=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}=-\frac{1}{2}.

 

Tani, duke zbatuar vetinë themelore të trigonometris, gjejmë vlerën e sinx:

\displaystyle {{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x=1

\displaystyle {{\sin }^{2}}x=1-{{\cos }^{2}}x

\displaystyle {{\sin }^{2}}x=1-{{\left( {-\frac{1}{2}} \right)}^{2}}

\displaystyle {{\sin }^{2}}x=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}

\displaystyle \sin x=-\sqrt{{\frac{3}{4}}}=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}

Copyright © detyra.al
Postime te ngjashme: