Identitetet trigonometrike | Formula themelore

Formula themelore

Le të kemi në rrethin trigonometrik harkun AM me vlerë x. Dimë që $\displaystyle \sin x={{y}_{M}}$ dhe $\displaystyle \cos x={{x}_{M}}$ . Njehsojmë largesën e pikës M nga origjina e koordinatave O(0;0).

$\displaystyle OM=\sqrt{{{\left( {{x}_{M}}-{{x}_{0}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{M}}-{{y}_{0}} \right)}^{2}}}$ , pra $\displaystyle OM=\sqrt{{{x}_{m}}^{2}+{{y}_{M}}^{2}}$ , nga ku del $\displaystyle {{\left[ OM \right]}^{2}}={{x}_{m}}^{2}+{{y}_{M}}^{2}$ .

Pra, mund të shkruajmë $\displaystyle {{1}^{2}}={{\left( \cos x \right)}^{2}}+{{\left( \sin x \right)}^{2}}$ . Ky barazim shkruhet $\displaystyle {{\left( \sin x \right)}^{2}}+{{\left( \cos x \right)}^{2}}=1$ dhe quhet formula themelore e trigonometrisë.

Ky barazim është i vërtetë për çdo $\displaystyle x\in R$ .

Shembull 1

Duke ditur $\displaystyle \sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}$ dhe x është me mbarim në kuadratin e parë, gjeni vlerën e cosx.

Zgjidhje

Zbatojmë formulën themelore të trigonometrisë:

$\displaystyle {{\left( \sin x \right)}^{2}}+{{\left( \cos x \right)}^{2}}=1$

Bëjmë zëvëndësimet:

$\displaystyle {{\left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \cos x \right)}^{2}}=1$

$\displaystyle {{\left( \cos x \right)}^{2}}=1-{{\left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}$

$\displaystyle {{\left( \cos x \right)}^{2}}=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$

$\displaystyle \cos x=\sqrt{\frac{1}{4}}$

$\displaystyle \cos x=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}=\frac{1}{2}$ meqë x ishte me mbarim në kuadratin e parë.

Shprehje e cosx nëpërmjet tgx

Nga formula themelore $\displaystyle {{\left( \sin x \right)}^{2}}+{{\left( \cos x \right)}^{2}}=1$ , duke pjesëtuar të dyja anët me $\displaystyle {{\cos }^{2}}x$ (për $\displaystyle \cos x\ne 0$ ), marrim $\displaystyle \frac{{{\left( \sin x \right)}^{2}}}{{{\left( \cos x \right)}^{2}}}+1=\frac{1}{{{\left( \cos x \right)}^{2}}}$ , d.m.th $\displaystyle t{{g}^{2}}x+1=\frac{1}{{{\left( \cos x \right)}^{2}}}$ .

Nga kjo formulë del që:

$\displaystyle {{\cos }^{2}}x=\frac{1}{1+t{{g}^{2}}x}$ .

Ky barazim është identitet në bashkësinë e numrave realë x që plotësojnë kushtin $\displaystyle \cos x\ne 0$ .

Shembull 2

Jepet $\displaystyle tgx=\sqrt{3}$ dhe x me mbarim në kuadratin e dytë. Të gjendet cosx.

Zgjidhje

Meqë x është me mbarim në kuadratin e parë, vlera e cosx është negative.

Zbatojmë formulën që shpreh cosx nëpërmjet tgx:

$\displaystyle co{{s}^{2}}x=\frac{1}{1+t{{g}^{2}}x}$

Bëjmë zëvëndësimet:

$\displaystyle co{{s}^{2}}x=\frac{1}{1+{{\left( \sqrt{3} \right)}^{2}}}$

$\displaystyle co{{s}^{2}}x=\frac{1}{1+3}=\frac{1}{4}$

$\displaystyle \cos x=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}=-\frac{1}{2}$ .

Formulat e reduktimit

Tani do të nxjerrim formulat që na lejojnë të shprehim funksionet trigonometrike të këndeve të trajtës $\displaystyle k\frac{\pi }{2}\pm \alpha$ ( $\displaystyle k\in Z$ ), nëpërmjet funksioneve trigonometrike të këndit $\displaystyle \alpha$ .

Fomrulat për $\displaystyle \sin \left( \frac{\pi }{2}-\alpha \right),\cos \left( \frac{\pi }{2}-\alpha \right)$

Nga shndërrimet identike, do të arrijmë në përfundimin:

$\displaystyle \sin \left( \frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\cos \alpha$

$\displaystyle \cos \left( \frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\sin \alpha$

Formulat për $\displaystyle \sin \left( \frac{\pi }{2}+\alpha \right),\cos \left( \frac{\pi }{2}+\alpha \right)$

Nga formulat më sipër zëvëndësojmë $\displaystyle \alpha$ me $\displaystyle \left( -\alpha \right)$ dhe do të kemi:

$\displaystyle \sin \left( \frac{\pi }{2}+\alpha \right)=\cos \left( -\alpha \right)$

$\displaystyle \cos \left( \frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\sin \left( -\alpha \right)$

Formulat për $\displaystyle \sin \left( \pi +\alpha \right),\sin \left( \pi -\alpha \right),\cos \left( \pi +\alpha \right),\cos \left( \pi -\alpha \right)$

Do të kemi formulat:

$\displaystyle \sin \left( \pi +\alpha \right)=-\sin \alpha$

$\displaystyle \sin \left( \pi -\alpha \right)=\sin \alpha$

$\displaystyle \cos \left( \pi +\alpha \right)=-\cos \alpha$

$\displaystyle \cos \left( \pi -\alpha \right)=\cos \alpha$

Formulat për $\displaystyle \sin \left( 2\pi -\alpha \right),\cos \left( 2\pi -\alpha \right)$

Meqënëse sinusi dhe kosinusi janë funksione periodike me periodë $\displaystyle 2\pi$ , kemi:

$\displaystyle \sin \left( 2\pi -\alpha \right)=-\sin \alpha$

$\displaystyle \cos \left( 2\pi -\alpha \right)=\cos \alpha$

Një rregull për ti zbatuar formulat

Këto formula mos u mundoni ti analizoni përmëndësh. Ka një rregull të thjesht për ti përdorur ato:

Formulat e reduktimit për këndet $\displaystyle \pi \pm \alpha$ , $\displaystyle 2\pi \pm \alpha$ nuk e ndryshojnë emrin e funksionit (sinusi kthehet në sinus dhe kosinusi në kosinus)

Për këndet $\displaystyle \frac{\pi }{2}\pm \alpha$ , $\displaystyle \frac{3\pi }{2}\pm \alpha$ emri i funksionit ndryshon në kofunksion (sinusi në kosinus dhe kosinusi në sinus).

Shenja në anën e djathtë të formulës së reduktimit është e njëjtë me shenjën që ka funksioni që reduktohet në kuadratin përkatës, duke menduar $\displaystyle \alpha$ kënd të ngushtë.

Formula themelore

Pra, mund të shkruajmë . Ky barazim shkruhet dhe quhet formula themelore e trigonometrisë.

Shembull 1

Zgjidhje

Shprehje e cosx nëpërmjet tgx

Shembull 2

Zgjidhje

Formulat e reduktimit

Një rregull për ti zbatuar formulat

Pra, mund të shkruajmë $\displaystyle {{1}^{2}}={{\left( \cos x \right)}^{2}}+{{\left( \sin x \right)}^{2}}$ . Ky barazim shkruhet $\displaystyle {{\left( \sin x \right)}^{2}}+{{\left( \cos x \right)}^{2}}=1$ dhe quhet formula themelore e trigonometrisë.