Ushtrime te zgjidhura – Identitetet trigonometrike

Identitetet trigonometrike

Kujtojmë dhe njëherë identitetet kryesore trigonometrike:

Formula themelore: ${{\sin }^{2}}x+co{{x}^{2}}x=1$
Shprehje e cosx nëpërmjet tgx: $\displaystyle {{\cos }^{2}}x=\frac{1}{{1+t{{g}^{2}}x}}$

Kemi dhe identitetet për reduktimin e funksioneve trigonometrike.

Ushtrimi 1

Gjeni cosx duke ditur që sinx është $\frac{1}{2}$ dhe x është me mbarim në kuadratin e tretë.

Zgjidhje

Meqë x ndodhet në kuadratin e tretë, vlera e cosx do të jetë negative.

Zbatojmë vetinë themelore për gjetjen e vlerës së cosx:

${{\sin }^{2}}x+co{{x}^{2}}x=1$

$co{{x}^{2}}x=1-{{\sin }^{2}}x$

Bëjmë zëvëndësimet:

$co{{x}^{2}}x=1-{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{2}}$

$co{{x}^{2}}x=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$

$\cos x=-\sqrt{{\frac{3}{4}}}=-\frac{{\sqrt{3}}}{{\sqrt{4}}}=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$ .

Ushtrimi 2

Gjeni vlerën e tgx kur jepet $\sin x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$ dhe x me mbarim në kuadratin e parë.

Zgjidhje

Meqë x është me mbarim në kuadratin e parë, vlerat e sinx dhe cosx janë positive, ndaj dhe vlera e tgx do të jetë positive.

Nga formula themelore gjejmë vlerën e cosx dhe më pas gjejmë raportin $\frac{{\sin x}}{{\cos x}}$ për të gjetur vlerën e tgx:

${{\sin }^{2}}x+co{{x}^{2}}x=1$

$\displaystyle co{{x}^{2}}x=1-{{\sin }^{2}}x$

$\displaystyle co{{x}^{2}}x=1-{{\left( {\frac{{\sqrt{2}}}{2}} \right)}^{2}}$

$\displaystyle co{{x}^{2}}x=1-\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$

$\displaystyle \cos x=\sqrt{{\frac{1}{2}}}=\frac{{\sqrt{1}}}{{\sqrt{2}}}=\frac{1}{{\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$

Tani gjejmë vlerën e tgx:

$\displaystyle tgx=\frac{{\sin x}}{{\cos x}}$

$\displaystyle tgx=\frac{{\frac{{\sqrt{2}}}{2}}}{{\frac{{\sqrt{2}}}{2}}}=1$ .

Ushtrimi 3

Jepet $\displaystyle tgx=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$ . Gjeni vlerën e cosx duke ditur që x është me mbarim në kuadratin e katërt.

Zgjidhje

Meqë x është me mbarim në kuadratin e katërt, vlera e cosx do të jetë positive.

Për të gjetur vlerën e cosx zbatojmë formulën:

$\displaystyle {{\cos }^{2}}x=\frac{1}{{1+t{{g}^{2}}x}}$

$\displaystyle {{\cos }^{2}}x=\frac{1}{{1+{{{\left( {\frac{{\sqrt{3}}}{3}} \right)}}^{2}}}}$

$\displaystyle {{\cos }^{2}}x=\frac{1}{{1+\frac{3}{9}}}=\frac{1}{{1+\frac{1}{3}}}=\frac{1}{{\frac{4}{3}}}=\frac{3}{4}$

$\displaystyle \cos x=\sqrt{{\frac{3}{4}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

Ushtrimi 4

Gjeni vlerën e sinx duke ditur $\displaystyle tgx=\sqrt{3}$ dhe x është me mbarim në kuadratin e tretë.

Zgjidhje

Meqë x është me mbarim në kuadratin e tretë, vlera e sinx dhe cosx do të jetë negative.

Gjejmë në fillim cosx:

Zbatojmë formulën që shpreh cosx nëpërmjet tgx:

$\displaystyle co{{s}^{2}}x=\frac{1}{1+t{{g}^{2}}x}$

Bëjmë zëvëndësimet:

$\displaystyle co{{s}^{2}}x=\frac{1}{1+{{\left( \sqrt{3} \right)}^{2}}}$

$\displaystyle co{{s}^{2}}x=\frac{1}{1+3}=\frac{1}{4}$

$\displaystyle \cos x=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}=-\frac{1}{2}$ .

Tani, duke zbatuar vetinë themelore të trigonometris, gjejmë vlerën e sinx:

$\displaystyle {{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x=1$

$\displaystyle {{\sin }^{2}}x=1-{{\cos }^{2}}x$

$\displaystyle {{\sin }^{2}}x=1-{{\left( {-\frac{1}{2}} \right)}^{2}}$

$\displaystyle {{\sin }^{2}}x=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$

$\displaystyle \sin x=-\sqrt{{\frac{3}{4}}}=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$