Detyra.Al Detyra.Al

  • Kreu
  • Matematika
    • Matematika 6
    • Matematika 7
    • Matematika 8
    • Matematika 9
    • Matematika 10
    • Matematika 11
    • Matematika 12
  • Fizika
  • Matematika Baze
  • Matura dhe provimi i lirimit
  • Kimia
    • Kimia 8
    • Kimia 9
Home / Rrethi. Ekuacioni i rrethit

Rrethi. Ekuacioni i rrethit

ekuacioni i rrethit

Ekuacioni i rrethit

Përkufizim: Rreth quhet bashkësia e pikave të planit, të cilat kanë të njëjtën largesë mga një pikë fikse e planit.

Pika fikse quhet qendër e rrethit.  Atë e shënojmë me O.

Largesa nga qëndra e tij quhet rreze e rrethit. Rrezen e rrethit e shënojmë me r.

Në plan zgjedhim një sistem koordinativ xOy dhe shënojmë me a dhe b koordinatat e qendrës Q.

 

Në plan marrim një pikë çfarëdo \displaystyle M\left( x,y \right).

qese plastike


Nga përkufizimi, pika M është qendër e rrethit, atëherë dhe vetëm atëherë kur \displaystyle QM=r.

Nga formula që jep largesën e dy pikave kemi:

\displaystyle QM=\sqrt{{{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}}.

Meqë \displaystyle QM=r, kemi:

\displaystyle r=\sqrt{{{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}}

\displaystyle {{r}^{2}}={{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}.

Nga ky baraziim del se në qoftë se pika \displaystyle M\left( x,y \right) është pikë e rrethit, koordinatat e saj vërtetojnë ekuacionin \displaystyle {{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}={{r}^{2}} dhe anasjelltas, nëse koordinatat \displaystyle \left( x,y \right) të pikës M vërtetojnë ekuacionin \displaystyle {{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}={{r}^{2}}, atëherë kjo pikë ndodhet në rreth.

Në këtë mënyrë kemi provuar se ekuacioni  i rrethit me qendër \displaystyle Q(a,b) dhe rreze r është \displaystyle {{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}={{r}^{2}}.

Ky ekuacion quhet ekuacioni më i thjeshtë i rrethit.

Ekuacionin \displaystyle {{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}={{r}^{2}} mund ti japim një trajtë tjetër, duke zbërthyer katrorët:

\displaystyle {{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}-{{r}^{2}}=0

\displaystyle {{x}^{2}}-2ax+{{a}^{2}}+{{y}^{2}}-2by+{{b}^{2}}-{{r}^{2}}=0

\displaystyle {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2ax-2by+{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{r}^{2}}=0

 

Shënojmë \displaystyle -2a=A  ;  \displaystyle -2b=B  ; \displaystyle {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{r}^{2}}=C dhe do të kemi:

\displaystyle {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+Ax+By+C=0

Ky quhet ekuacioni i përgjithshëm i rrethit.


Vëmë re se ky ekuacion është ekuacion i fuqisë së dytë në lidhje me x, y me këto cilësi:

  1. Koeficientët e kufizave \displaystyle {{x}^{2}} dhe \displaystyle {{y}^{2}} janë të barabartë.
  2. Mungon kufiza e prodhimit \displaystyle x\cdot y.

 

 

 

 

Ushtrime të zgjidhura

Ushtrimi 1

Të shkruhet ekuacioni i rrethit kur jepet qendra dhe rrezja e tij:

a) \displaystyle Q(-3,2) dhe \displaystyle r=5

b) \displaystyle Q(-3,-2) dhe \displaystyle r=3

c) \displaystyle Q(0,-1) dhe \displaystyle r=1

d) \displaystyle Q(2,0) dhe \displaystyle r=\sqrt{2}

 

Zgjidhje

a) \displaystyle Q(-3,2) dhe \displaystyle r=5

Shkruajmë ekuacionin e rrethit:

\displaystyle {{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}={{r}^{2}}

\displaystyle {{\left( x+3 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}={{5}^{2}}

\displaystyle {{\left( x+3 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}=25

 

b) \displaystyle Q(-3,-2) dhe \displaystyle r=3

\displaystyle {{\left( x+3 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}={{3}^{2}}

\displaystyle {{\left( x+3 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}=9

 

c) \displaystyle Q(0,-1) dhe \displaystyle r=1

\displaystyle {{\left( x+0 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}={{1}^{2}}

\displaystyle {{x}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}=1

 

d) \displaystyle Q(2,0) dhe \displaystyle r=\sqrt{2}

\displaystyle {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+0 \right)}^{2}}={{\left( \sqrt{2} \right)}^{2}}

\displaystyle {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=2

 

qese plastike

 

Ushtrimi 2

Gjeni ekuacionin e rrethit me qendër në origjinën e koordinatave dhe me rreze të barabartë me 5.

 

Zgjidhje

Kur rrethi është me qëndër në origjinën e koordinatave kemi pikën Q me koordinata \displaystyle (0,0).

Shkruajmë ekuacionin:

\displaystyle {{\left( x-0 \right)}^{2}}+{{\left( y-0 \right)}^{2}}={{5}^{2}}

\displaystyle {{y}^{2}}+{{y}^{2}}=25

 

 

 

 

Ushtrimi 3

Rrethi \displaystyle {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+ky-8=0 kalon nga pika \displaystyle A\left( 2,8 \right). Të gjendet k.

 

Zgjidhje

Këtu kemi të bëjmë me ekuacionin e përgjithshëm të rrethit:

\displaystyle {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+Ax+By+C=0.

Zëvëndësojmë pikën A tek ekuacioni dhe gjejmë k:

\displaystyle {{2}^{2}}+{{8}^{2}}-2\cdot 2+8k-8=0

\displaystyle 4+64-4+8k-8=0

\displaystyle 56+8k=0

\displaystyle k=-\frac{56}{8}=-7.

qese plastike

Copyright © detyra.al
ekuacioni i përgjithshëm i rrethitekuacioni i rrethitekuacioni i thjeshte i rrethitrrethirrethi dhe elipsi

Kerko Mesime

Pages

  • Fizika
    • Fizika 7
  • Kimia
    • Kimia 8
    • Kimia 9
  • Kontakt
  • Kreu
  • Matura dhe provimi i lirimit

Sponcor Ju-Ar Plast Sh.P.K

Ju-Ar Plast Sh.P.K

Postime te ngjashme:

qese plastike

Ju-Ar Plast Sh.P.K

Na kontaktoni

Detyra.al është një platformë eduktaive online e cila vjen në ndihmë të nxënësve të klasave të 6-12 me leksione, ushtrime dhe teza provimesh.

Email: info@detyra.al