Ne dimë që barazimi me një ndryshore quhet ekuacion nëse kërkohen vlerat e ndryshores që e kthejnë atë në barazim numerikë të vërtetë. Çdo vlerë e tillë e ndryshores quhet rrënjë e ekuacionit.
Për të kaluar nga një ekuacion në tjetër, të njëvlershëm me të në R, përdorim teoremat e mëposhtëme:
Teorema 1: “Nëse në njërën anë të ekuacionit me një ndryshore kryejmë shndërrime identike në R, marrim një ekuacion të vlershëm me të në bashkësinë R”.
Teorema 2: “Nëse kalojmë një kufizë nga njëra anë e ekuacionit në tjetrën, duke i ndryshuar shenjën në të kundërt, marrim ekuacion të nkëvlershëm me të parin në R”.
Teorema 3: “Nëse të dyja anët e një ekuacioni shumëzohen me të njëjtin numër, të ndryshëm nga zero, merret një ekuacion i njëvlershëm me të parin në R”.
Ekuacioni i fuqisë së dytë me një ndryshore
Ne kemi mësuar që: ekuacioni i trajtës , ku x është ndryshorja, kurse a, b, c janë numra realë dhe , quhet ekuacion i fuqisë së dytë me një ndryshore.
Dallor të ekuacionit të fuqisë së dytë kemi quajtur shprehjen numerike , që e kemi shënuar me D. Pra .
Për të zgjidhur ekuacionin e çfarëdoshëm të fuqisë së dytë veprojmë kështu:
- Njehsojmë dallorin dhe shohim shenjën e tij.
- a) Nëse D>0, atëherë ekuacioni ka dy rrenjë reale të ndryshme që jepen nga formulat dhe
b) Nëse D=0, atëherë ekuacioni ka vetëm një rrenjë që jepet nga formula
c) Nëse D<0, atëherë ekuacioni nuk ka rrënjë reale.
Shembull
Të zgjidhet ekuacioni
Zgjidhje
Gjejmë dallorin dhe shohim vlerën e tij:
Pra, ekuacioni ka dy rrenjë reale.
Gjejmë rrënjët e x-it:
Pra, rrënjët e x-it janë vlerat dhe
Formulat e Vietes
Formulat e Vietes na ndihmojnë të gjejmë shumën dhe prodhimin e rrënjëve të x-it, kur ato ekzistojnë pa i gjetur më parë rrënjët.
Formulat e Vietes janë:
dhe .
Vërtetim
Duke mbledhur anë për anë do të kemi:
Nga formula e diferencës së katrorit do të kemi:
Zëvëndësojmë formulën e dallorit dhe do të kemi:
Teoremë: “Nëse numrat m, n kanë shumën p dhe prodhimin q, atëherë këta numra janë rrënjë të ekuacionit ”.