Bashkohu me grupin e matematikes ne FACEBOOK! Join Us

Ekuacioni i fuqise se dyte me nje ndryshore

Ne dimë që barazimi me një ndryshore quhet ekuacion nëse kërkohen vlerat e ndryshores që e kthejnë atë në barazim numerikë të vërtetë. Çdo vlerë e tillë e ndryshores quhet rrënjë e ekuacionit.

 

Për të kaluar nga një ekuacion në tjetër, të njëvlershëm me të në R, përdorim teoremat e mëposhtëme:

Teorema 1: “Nëse në njërën anë të ekuacionit me një ndryshore kryejmë shndërrime identike në R, marrim një ekuacion të vlershëm me të në bashkësinë R”.

Teorema 2: “Nëse kalojmë një kufizë nga njëra anë e ekuacionit në tjetrën, duke i ndryshuar shenjën në të kundërt, marrim ekuacion të nkëvlershëm me të parin në R”.

Teorema 3: “Nëse të dyja anët e një ekuacioni shumëzohen me të njëjtin numër, të ndryshëm nga zero, merret një ekuacion i njëvlershëm me të parin në R”.

 

 

 

 

Ekuacioni i fuqisë së dytë me një ndryshore

Ne kemi mësuar që: ekuacioni i trajtës \displaystyle a{{x}^{2}}+bx+c=0, ku x është ndryshorja, kurse a, b, c janë numra realë dhe \displaystyle a\ne 0, quhet ekuacion i fuqisë së dytë me një ndryshore.

Dallor të ekuacionit të fuqisë së dytë \displaystyle a{{x}^{2}}+bx+c=0 kemi quajtur shprehjen numerike \displaystyle {{b}^{2}}-4ac, që e kemi shënuar me D. Pra \displaystyle D={{b}^{2}}-4ac.

 

Për të zgjidhur ekuacionin e çfarëdoshëm të fuqisë së dytë \displaystyle a{{x}^{2}}+bx+c=0 veprojmë kështu:

  1. Njehsojmë dallorin \displaystyle D={{b}^{2}}-4ac dhe shohim shenjën e tij.
  2. a) Nëse D>0, atëherë ekuacioni ka dy rrenjë reale të ndryshme që jepen nga formulat \displaystyle {{x}_{1}}=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a} dhe \displaystyle {{x}_{2}}=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}
    b) Nëse D=0, atëherë ekuacioni ka vetëm një rrenjë që jepet nga formula \displaystyle x=\frac{-b}{2a}
    c) Nëse D<0, atëherë ekuacioni nuk ka rrënjë reale.

 

 

 

Shembull

Të zgjidhet ekuacioni \displaystyle 3{{x}^{2}}+4x+1=0

 

Zgjidhje

\displaystyle 3{{x}^{2}}+4x+1=0

Gjejmë dallorin dhe shohim vlerën e tij:

\displaystyle D={{b}^{2}}-4ac

\displaystyle D={{4}^{2}}-4\cdot 3\cdot 1

\displaystyle D=16-12=4

\displaystyle D>0

Pra, ekuacioni ka dy rrenjë reale.

Gjejmë rrënjët e x-it:

\displaystyle {{x}_{1}}=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}

\displaystyle {{x}_{1}}=\frac{-4-\sqrt{4}}{2\cdot 3}

\displaystyle {{x}_{1}}=\frac{-4-2}{6}=\frac{-6}{6}=-1

 

\displaystyle {{x}_{2}}=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}

\displaystyle {{x}_{2}}=\frac{-4+\sqrt{4}}{2\cdot 2}

\displaystyle {{x}_{2}}=\frac{-4+2}{4}=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2}

 

Pra, rrënjët e x-it janë vlerat \displaystyle -\frac{1}{2} dhe \displaystyle -1

 

 

 

 

Formulat e Vietes

Formulat e Vietes na ndihmojnë të gjejmë shumën dhe prodhimin e rrënjëve të x-it, kur ato ekzistojnë pa i gjetur më parë rrënjët.

Formulat e Vietes janë:

\displaystyle {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a} dhe \displaystyle {{x}_{1}}\cdot {{x}_{2}}=\frac{c}{a}.

 

Vërtetim

  • \displaystyle {{x}_{1}}+{{x}_{2}}

Duke mbledhur anë për anë do të kemi:

\displaystyle {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}+\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}

\displaystyle =\frac{-b-\sqrt{D}-b+\sqrt{D}}{2a}

\displaystyle =\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}

 

 

  • \displaystyle {{x}_{1}}\cdot {{x}_{2}}

\displaystyle {{x}_{1}}\cdot {{x}_{2}}=\left( \frac{-b-\sqrt{D}}{2a} \right)\cdot \left( \frac{-b+\sqrt{D}}{2a} \right)

Nga formula e diferencës së katrorit do të kemi:

\displaystyle \left( \frac{-b-\sqrt{D}}{2a} \right)\cdot \left( \frac{-b+\sqrt{D}}{2a} \right)=\frac{{{\left( -b \right)}^{2}}-{{\left( \sqrt{D} \right)}^{2}}}{4{{a}^{2}}}

\displaystyle =\frac{{{b}^{2}}-D}{4{{a}^{2}}}

Zëvëndësojmë formulën e dallorit dhe do të kemi:

\displaystyle \frac{{{b}^{2}}-D}{4{{a}^{2}}}=\frac{{{b}^{2}}-\left( {{b}^{2}}-4ac \right)}{4{{a}^{2}}}

\displaystyle =\frac{-4ac}{4{{a}^{2}}}=-\frac{c}{a}

 

Teoremë: “Nëse numrat m, n kanë shumën p dhe prodhimin q, atëherë këta numra janë rrënjë të ekuacionit \displaystyle {{x}^{2}}-px+q=0”.

Copyright © detyra.al