Metoda e zevendesimit dhe integrimi me pjese

Metoda e zevendesimit

Duke parë tabelën e integraleve themelore, vëmë re se ajo nuk përmbanë integralet e të gjitha funksioneve të zakonshme themelore.

Gjithashtu, nuk ka rregulla për integralin e prodhimit të dy funksioneve, raportit të tyre, të funksionit të përbërë etj, rregulla këto që ekzistojnë për gjetjen e derivatit të funksionit.

Gjatë njehsimit të integraleve të ndryshme është e nevojshme të mbahen parasysh disa shndërrime nën shenjën e diferencialit.

Dimë se diferenciali i funksionit $\displaystyle f:y=f\left( x \right)$ është $\displaystyle dy=f'\left( x \right)dx$ . E zbatojmë këtë formulë për të gjetur diferencialin e disa funksioneve të thjeshta.

$\displaystyle d\left( x+a \right)=dx$ , ku a është konstante

$\displaystyle d\left( ax \right)=a\cdot dx$ , nga ku $\displaystyle dx=\frac{1}{a}d\left( ax \right)$

$\displaystyle d\left( ax+b \right)=a\cdot dx$ , nga ku $\displaystyle dx=\frac{1}{a}d\left( ax+b \right)$

$\displaystyle d\left( {{x}^{2}} \right)=2xdx$ , nga ku $\displaystyle xdx=\frac{1}{2}d\left( {{x}^{2}} \right)$

$\displaystyle d\left( \ln x \right)=\frac{1}{x}dx$ , nga ku $\displaystyle \frac{dx}{x}=d\left( \ln x \right)$

$\displaystyle {{e}^{x}}dx=d\left( {{e}^{x}} \right)$

$\displaystyle \cos xdx=d\left( \sin x \right)$

$\displaystyle \sin xdx=-d\left( \cos x \right)$ .

Shembulli 1

Të njehsohet $\displaystyle \int{\frac{dx}{x+5}}$

Zgjidhje

$\displaystyle \int{\frac{dx}{x+5}}=\int{\frac{d\left( x+5 \right)}{x+5}}=\int{\frac{du}{u}}$

Kemi zëvëndësuar $\displaystyle x+5$ me $\displaystyle u$ .

$\displaystyle \int{\frac{d\left( x+5 \right)}{x+5}}=\ln |x+5|+c$

Shembulli 2

Të njehsohet $\displaystyle \int{\frac{dx}{2x+1}}$

Zgjidhje

$\displaystyle \int{\frac{dx}{2x+1}}=\frac{1}{2}\int{\frac{d\left( 2x+1 \right)}{2x+1}}=\frac{1}{2}\int{\frac{du}{u}}$

Kemi zëvëndësuar $\displaystyle 2x+1$ me $\displaystyle u$ .

$\displaystyle \frac{1}{2}\int{\frac{d\left( 2x+1 \right)}{2x+1}}=\frac{1}{2}\ln |2x+1|$

Metoda e integrimit me pjese

Një metodë tjetër mjaft e përdorshmë për integrimin e funksioneve është ajo e integrimit me pjese.

Janë dhënë funksionet $\displaystyle u=u\left( x \right)$ dhe $\displaystyle v=v\left( x \right)$ , të cilët kanë derivate të vazhdueshëm në një interval. Dimë që $\displaystyle \left( uv \right)'=u'v+uv'$ nga ku $\displaystyle uv'=\left( uv \right)'-u'v$ .

Duke marrë integralet e të dyja anëve të barazimit të mësipërm, kemi:

$\displaystyle \int{uv'dx}=\int{\left( uv \right)'}dx-\int{u'v}dx$ .

Meqë $\displaystyle v'dx=dv$ dhe $\displaystyle u'dx=du$ , kemi:

$\displaystyle \int{udv}=uv-\int{vdu}$ . Kjo quhet formula e integrimit me pjese.

Kur integrojmë me pjese $\displaystyle \int{f\left( x \right)}dx$ , shprehjen nën integral $\displaystyle f\left( x \right)dx$ e paraqesim në trajtë prodhimi $\displaystyle u\cdot v$ .