Segmenti dhe intervali | Prerja dhe bashkimi i segmenteve

Segmenti dhe intervali

Jepen numrat realë a dhe b, ku a < b.

Përkufizim 1: “Bashkësia e të gjithë numrave realë x, që janë më të mëdhenj ose të barabartë me a, por më të vegjël ose të barabartë me b quhet segment”.

Simbolikisht shkruhet $\displaystyle a\le x\le b$ ose $\displaystyle \left[ a,b \right]$ dhe lexohet segmenti $\displaystyle \left[ a,b \right]$ .

Përkufizim 2: “Bashkësia e të gjithë numrave realë x që janë më të mëdhenj se a por më të vegjël se b quhet interval”.

Simbolikisht shënohet $\displaystyle a<x<b$ ose $\displaystyle \left] a,b \right[$ dhe lexohet intervali $\displaystyle \left] a,b \right[$ . Përkufizim 3: “Bashkësia e të gjithë numrave realë x që janë më të mëdhenj ose të barabartë se a por më të vegjël se b quhet gjysmësegment”.

Simbolikisht shënohet $\displaystyle a\le x<b$ ose $\displaystyle \left[ a,b \right[$ dhe lexohet gjysmësegmenti $\displaystyle \left[ a,b \right[$ . Përkufizim 4: “Bashkësia e të gjithë numrave realë x që janë më të mëdhenj se a por më të vegjël ose të barabartë se b quhet gjysmëinterval”.

Simbolikisht shënohet $\displaystyle a<x\le b$ ose $\displaystyle \left] a,b \right]$ dhe lexohet gjysmëintervali $\displaystyle \left[ a,b \right[$ .

Prerja dhe bashkimi i bashkësive të dhëna me segment ose interval

Shembull 1

Gjeni prerjen dhe bashkimin e bashkësive $\displaystyle A=\left[ 3,6 \right]$ dhe $\displaystyle B=\left[ 4,8 \right]$

Zgjidhje

Nga përkufizimi i prerjes, elementët e saj janë në A dhe në B, ndaj do të kemi $\displaystyle A\cap B=\left[ 4,6 \right]$ .

Nga përkufizimi i bashkimit, elementët e saj janë në A ose në B, ndaj do të kemi $\displaystyle A\cup B=\left[ 3,8 \right]$ .

Shembull 2

Gjeni prerjen dhe bashkimin e bashkësive $\displaystyle A=\left] -\infty ,3 \right]$ dhe $\displaystyle B=\left[ -1,4 \right[$

Zgjidhje

Nga përkufizimi i prerjes, elementët e saj janë në A dhe në B, ndaj do të kemi $\displaystyle A\cap B=\left[ 3,4 \right[$ .

Nga përkufizimi i bashkimit, elementët e saj janë në A ose në B, ndaj do të kemi $\displaystyle A\cup B=\left] -\infty ,4 \right[$ .

Shembull 3

Bashkësitë e mëposhtme të jepen në një mënyrë tjetër:

a) $\displaystyle A=\left\{ x\in R/1\le x<5 \right\}$ b) $\displaystyle A=\left] 2,7 \right]$

Zgjidhje

a) Numrat realë x plotësojnë kushtet e përkufizimit të gjysmësegmentit, prandaj shkruajmë $\displaystyle A=\left\{ x\in R/1\le x<5 \right\}=\left[ 1,5 \right[$ . b) Në të njëjtën mënyrë shkruajmë $\displaystyle A=\left] 2,7 \right]=\left\{ x\in R/2<x\le 7 \right\}$ .