Vargje te dhena ne menyre rekurrente. Vargje monotone

Vargje te dhena ne menyre rekurrente

Formula që shpreh çdo kufizë të vargut nëpërmjet kufizave paraardhëse quhet formulë rekurrente.

Një mënyrë për të dhënë vargun numerik është mënyra rekurrente.

Sipas kësaj mënyre zakonisht jepen:

Kufiza e parë e vargut (ose disa kufiza të para).
Një formulë rekurrente që shpreh kufizën e përgjithshme $\displaystyle {{y}_{n}}$ të vargut nëpërmjet kufizës paraardhëse $\displaystyle {{y}_{n-1}}$ (ose nëpërmjet $\displaystyle {{y}_{n-1}}$ dhe $\displaystyle {{y}_{n-2}}$ ).

Kur vargu është i dhënë në mënyrë rekurrente, duke u nisur nga kufizat e para të njohura të tij, ne mund të gjejmë, njërës pas tjetrës, secilën prej kufizave të tij.

Shembull 1

Kufiza e parë e vargut është $\displaystyle {{y}_{1}}=1$ , kurse çdo kufizë, duke filluar nga e dyta, është e barabartë me prodhimin e treguesit të saj me kufizën paraardhëse, pra $\displaystyle {{y}_{n+1}}={{y}_{n}}\cdot \left( n+1 \right)$ .

Atëherë kemi:

$\displaystyle {{y}_{2}}=2\cdot {{y}_{1}}=2$

$\displaystyle {{y}_{3}}=3\cdot {{y}_{2}}=3\cdot 2=6$

$\displaystyle {{y}_{4}}=4\cdot {{y}_{3}}=4\cdot 6=24$

…………………………………………………………………………………………….

$\displaystyle {{y}_{n+1}}=\left( n+1 \right)\cdot {{y}_{n}}=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot .......n\cdot \left( n+1 \right)$ .

Këtu çdo kufizë është më e madhe se paraardhësja, pra kufizat e tij vijnë duke u rritur (me rritjen e treguesve të tyre). Ky varg, i parë si funksion numerik, është rritës.

Teoremë 1: “Nëse funksioni $\displaystyle y=f\left( x \right)$ është rritës në bashkësinë $\displaystyle \left[ 1,+\infty \right[$ atëherë vargu me kufizë të përgjithshme $\displaystyle {{y}_{n}}=f\left( n \right)$ është varg rritës”.

Teoremë 2: “Nëse funksioni $\displaystyle y=f\left( x \right)$ është zbritës në bashkësinë $\displaystyle \left[ 1,+\infty \right[$ atëherë vargu me kufizë të përgjithshme $\displaystyle {{y}_{n}}=f\left( n \right)$ është varg zbritës”.

Shembull 2

Tregoni nëse është rritës apo zbritës vargu me kufizë të përgjithshme $\displaystyle y=\sqrt{x}$ .

Zgjidhje

Shqyrtojmë funksionin përkatës $\displaystyle y=\sqrt{x}$ .

Siç e kemi studiuar, ky është funksion rritës në $\displaystyle \left[ 0,+\infty \right[$ , prandaj vargu i dhënë është rritës.