Ushtrime te zgjidhura me monomin dhe polinomin

Nga njohurit që kemi marrë për shprehjet numerike, monomin dhe polinomin, zgjidhim ushtrimet më poshtë.

Ushtrimi 1

Vërtetoni që $\displaystyle 23\cdot 17+23\cdot 7$ plotëpjestohet me 6.

Zgjidhje

Bëjmë faktorizimin e shprehjes numerike:

$\displaystyle 23\cdot 17+23\cdot 7$

$\displaystyle =23\left( 17+7 \right)$

$\displaystyle =23\cdot 24$

Meqë numrin 24 plotëpjestohet me 6, atëherë prodhimi $\displaystyle 23\cdot 24$ plotëpjestohet me 8.

Ushtrimi 2

Gjeni vlerën e shprehjes numerike $\displaystyle {{\left( 3,71 \right)}^{2}}-3,71\cdot 3,61$

Zgjidhje

Bëjmë faktorizimin e shprehjes numerike:

$\displaystyle {{\left( 3,71 \right)}^{2}}-3,71\cdot 3,61$

$\displaystyle =3,71\left( 3,71-3,61 \right)$

$\displaystyle =3,71\cdot 0,1$

$\displaystyle =0,371$

Ushtrimi 3

Gjeni vlerën e palejuar të shprehjes $\displaystyle \frac{3x+2}{x-3}$

Zgjidhje

Për të gjetur vlerën e palejuar të shprehjes $\displaystyle \frac{3x+2}{x-3}$ , mjafton të barazojmë me 0 emëruesin x – 3.

Atëherë do të kemi:

$\displaystyle x-3=0$

$\displaystyle x=3$ është vlera e palejuar e shprehjes $\displaystyle \frac{3x+2}{x-3}$ .

Ushtrimi 4

Sillni në trajtë të rregullt monomin:

a) $\displaystyle 3\left( -ab \right)\left( 2{{a}^{2}}b \right)\left( -3a{{b}^{3}} \right)$

b) $\displaystyle \left( \frac{3}{7}{{x}^{2}} \right)\left( 2x \right)$

Zgjidhje

a) $\displaystyle 3\left( -ab \right)\left( 2{{a}^{2}}b \right)\left( -3a{{b}^{3}} \right)$

$\displaystyle =\left( -3ab \right)\left( 2{{a}^{2}}b \right)\left( -3a{{b}^{3}} \right)$

$\displaystyle =\left( -6{{a}^{3}}{{b}^{2}} \right)\left( -3a{{b}^{3}} \right)$

$\displaystyle =\left( 18{{a}^{4}}{{b}^{5}} \right)$

b) $\displaystyle \left( \frac{3}{7}{{x}^{2}} \right)\left( 2x \right)$

$\displaystyle =\frac{6}{7}{{x}^{3}}$

Ushtrimi 5

Sillni në trajtë të rregullt polinomin $\displaystyle 4{{a}^{2}}b-a{{b}^{2}}-3{{a}^{2}}b+a{{b}^{2}}$ dhe gjeni vlerën e shprehjes për a = 2 dhe b = 3.

Zgjidhje

$\displaystyle 4{{a}^{2}}b-a{{b}^{2}}-3{{a}^{2}}b+a{{b}^{2}}$

Në fillim reduktojmë kufizat e ngjashme:

$\displaystyle ={{a}^{2}}b+0$

$\displaystyle ={{a}^{2}}b$

Tani zëvëndësojmë shkronjat me numra:

$\displaystyle {{2}^{2}}\cdot 3$

$\displaystyle =4\cdot 3=12$

Ushtrimi 6

Sillni në trajtë të rregullt polinomin, duke reduktuar kufizat e ngjashme.

a) $\displaystyle 7{{x}^{3}}-4{{x}^{2}}+x+9-\left( 4{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+3x-7 \right)$

b) $\displaystyle xy-{{x}^{2}}y+x{{y}^{2}}+\left( 4xy+{{x}^{2}}y-3x{{y}^{2}} \right)$

Zgjidhje

a) $\displaystyle 7{{x}^{3}}-4{{x}^{2}}+x+9-\left( 4{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+3x-7 \right)$

Grupojmë kufizat e ngjashme:

$\displaystyle =\left( 7{{x}^{3}}-4{{x}^{3}} \right)+\left( -4{{x}^{2}}+2{{x}^{2}} \right)+\left( x+3x \right)+\left( 9-7 \right)$

Reduktojmë kufizat e ngjashme:

$\displaystyle =3{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+4x+2$

b) $\displaystyle xy-{{x}^{2}}y+x{{y}^{2}}+\left( 4xy+{{x}^{2}}y-3x{{y}^{2}} \right)$

Grupojmë kufizat e ngjashme:

$\displaystyle =\left( xy+4xy \right)+\left( -{{x}^{2}}y+{{x}^{2}}y \right)+\left( x{{y}^{2}}-3x{{y}^{2}} \right)$

Reduktojmë kufizat e ngjashme:

$\displaystyle =5xy+0-2x{{y}^{2}}$

$\displaystyle =5xy+2x{{y}^{2}}$

Ushtrimi 7

Kryeni shumëzimet:

a) $\displaystyle \left( 3x+7 \right)\left( x-4 \right)$

b) $\displaystyle \left( {{x}^{2}}-5x+3 \right)\left( 2{{x}^{2}}-3 \right)$

c) $\displaystyle \left( 2x \right)\left( 7{{x}^{2}}-2x+3 \right)$

Zgjidhje

a) $\displaystyle \left( 3x+7 \right)\left( x-4 \right)$

Kryejmë shumëzimet:

$\displaystyle =3{{x}^{2}}-12x+7x-28$

Reduktojmë kufizat e ngjashme:

$\displaystyle =3{{x}^{2}}-5x-28$

b) $\displaystyle \left( {{x}^{2}}-5x+3 \right)\left( 2{{x}^{2}}-3 \right)$

Kryejmë shumëzimet:

$\displaystyle =2{{x}^{4}}-3{{x}^{2}}-10{{x}^{3}}+15x+6{{x}^{2}}-9$

Reduktojmë kufizat e ngjashme:

$\displaystyle =2{{x}^{4}}-10{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+15x-9$

c) $\displaystyle \left( 2x \right)\left( 7{{x}^{2}}-2x+3 \right)$

Kryejmë shumëzimet:

$\displaystyle =14{{x}^{3}}-4{{x}^{2}}+6x$

Ushtrimi 8

Zgjidhni ekuacionin:

$\displaystyle \left( 1-2x \right)\left( 1-3x \right)=\left( 6x-1 \right)x-1$

Zgjidhje

$\displaystyle \left( 1-2x \right)\left( 1-3x \right)=\left( 6x-1 \right)x-1$

Kryejmë shumëzimet:

$\displaystyle 1-3x-2x+6{{x}^{2}}=6{{x}^{2}}-x-1$

Reduktojmë kufizat e ngjashme. Nga vetitë e ekuacioneve dimë që: “Kufizat e njëjta në të dy anët e ekuacionit mund t’i hiqen ekuacionit”.

$\displaystyle 1-5x=-x-1$

Kalojmë kufizat e panjohura në njërin krahë dhe kufizat e njohura në anën tjetër:

$\displaystyle -5x+x=-1-1$

$\displaystyle -4x=-2$

Pjestojmë të dy anët e ekuacionit me -4:

$\displaystyle x=\frac{-2}{-4}=\frac{1}{2}$