Ndryshesa e katroreve | Faktorizime me ndryshesen e katroreve

Ndryshesa e katroreve shkruhet: $\displaystyle \left( a+b \right)\left( a-b \right)={{a}^{2}}-{{b}^{2}}$

Le të vërtetojmë identitetin.

Zbatojmë vetinë e përdasimit:

$\displaystyle \left( a+b \right)\left( a-b \right)=a\left( a-b \right)+b\left( a-b \right)$

$\displaystyle ={{a}^{2}}-ab+ab-{{b}^{2}}$

Reduktojmë kufizat e ngjashme:

$\displaystyle ={{a}^{2}}-{{b}^{2}}$

Identiteti u vërtetua. Ky identitet na lejon të kryejmë shkurt shumëzimin e shumë së dy shprehjeve me ndryshesën e tyre.

Shembull 1

Paraqitini shkurt, si polinom prodhimet:

a) $\displaystyle \left( x+5 \right)\left( x-5 \right)$

b) $\displaystyle \left( {{x}^{2}}+2 \right)\left( {{x}^{2}}-2 \right)$

c) $\displaystyle \left( 3a-7 \right)\left( 3a-7 \right)$

Zgjidhje

a) $\displaystyle \left( x+5 \right)\left( x-5 \right)$

Nga ndryshesa e katroreve, do të kemi:

$\displaystyle \left( x+5 \right)\left( x-5 \right)={{x}^{2}}-{{5}^{2}}$

$\displaystyle ={{x}^{2}}-25$

b) $\displaystyle \left( {{x}^{2}}+2 \right)\left( {{x}^{2}}-2 \right)$

Nga ndryshesa e katroreve, do të kemi:

$\displaystyle \left( {{x}^{2}}+2 \right)\left( {{x}^{2}}-2 \right)={{\left( {{x}^{2}} \right)}^{2}}-{{2}^{2}}$

$\displaystyle ={{x}^{4}}-4$

c) $\displaystyle \left( 3a-7 \right)\left( 3a-7 \right)$

Nga ndryshesa e katroreve, do të kemi:

$\displaystyle \left( 3a-7 \right)\left( 3a-7 \right)={{\left( 3a \right)}^{2}}-{{7}^{2}}$

$\displaystyle =9{{a}^{2}}-49$

Shembull 2

Të paraqiten shkurt si polinom shprehjet:

a) $\displaystyle \left( -x-3 \right)\left( x-3 \right)$

b) $\displaystyle \left( -5x-9 \right)\left( 5x-9 \right)$

c) $\displaystyle 4{{x}^{2}}-\left( 2x-3 \right)\left( 2x+3 \right)$

Zgjidhje

a) $\displaystyle \left( -x-3 \right)\left( x-3 \right)$

$\displaystyle \left( -x-3 \right)$ e shkruajmë ndryshe $\displaystyle \left( -1 \right)\left( x+3 \right)$ dhe do të kemi:

$\displaystyle \left( -x-3 \right)\left( x-3 \right)=\left( -1 \right)\left( x+3 \right)\left( x-3 \right)$

Nga ndryshesa e katrorevedo të kemi:

$\displaystyle \left( -1 \right)\left( x+3 \right)\left( x-3 \right)=\left( -1 \right)\left( {{x}^{2}}-9 \right)$

$\displaystyle =-{{x}^{2}}+9$

$\displaystyle =9-{{x}^{2}}$

b) $\displaystyle \left( -5x-9 \right)\left( 5x-9 \right)$

Në të njëjtën mënyrë veprojmë dhe në këtë rast. Do të kemi:

$\displaystyle \left( -5x-9 \right)\left( 5x-9 \right)=\left( -1 \right)\left( 5x+9 \right)\left( 5x-9 \right)$

$\displaystyle =\left( -1 \right)\left( 25{{x}^{2}}-81 \right)$

$\displaystyle =-25{{x}^{2}}+81$

$\displaystyle =81-25{{x}^{2}}$

c) $\displaystyle 4{{x}^{2}}-\left( 2x-3 \right)\left( 2x+3 \right)$

Në fillim faktorizojmë prodhimin:

$\displaystyle 4{{x}^{2}}-\left( 2x-3 \right)\left( 2x+3 \right)=4{{x}^{2}}-4{{x}^{2}}-9$

Reduktojmë kufizat e ngjashme:

$\displaystyle 4{{x}^{2}}-\left( 2x-3 \right)\left( 2x+3 \right)=9$

Formulën $\displaystyle {{a}^{2}}-{{b}^{2}}=\left( a-b \right)\left( a+b \right)$ e quajmë formulë e ndryshesës së katroreve dhe përdoret për për të zbëerthyer në faktorë ndryshesën e katrorëve të dy shprehjeve.

Ushtrimi 1

Zbertheni në faktorë:

a) $\displaystyle {{x}^{2}}-4$

b) $\displaystyle {{x}^{4}}-16$

c) $\displaystyle 4{{a}^{2}}-36$

Zgjidhje

a) $\displaystyle {{x}^{2}}-4$

Në fillim i kthejmë të dy kufizat si fuqi të dyshit:

$\displaystyle {{x}^{2}}-4={{x}^{2}}-{{2}^{2}}$

Nga formula e ndryshesës së katrorit, do të kemi:

$\displaystyle {{x}^{2}}-{{2}^{2}}=\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)$

b) $\displaystyle {{x}^{4}}-16$

Në fillim i kthejmë të dy kufizat si fuqi të dyshit:

$\displaystyle {{x}^{4}}-16={{\left( {{x}^{2}} \right)}^{2}}-{{4}^{2}}$

Nga formula e ndryshesës së katrorit, do të kemi:

$\displaystyle {{\left( {{x}^{2}} \right)}^{2}}-{{4}^{2}}=\left( {{x}^{2}}-4 \right)\left( {{x}^{2}}+4 \right)$

c) $\displaystyle 4{{a}^{2}}-36$

Në fillim i kthejmë të dy kufizat si fuqi të dyshit:

$\displaystyle 4{{a}^{2}}-36={{\left( 2a \right)}^{2}}-{{6}^{2}}$

Nga formula e ndryshesës së katrorit, do të kemi:

$\displaystyle =\left[ {{\left( 2a \right)}^{2}}-6 \right]\left[ {{\left( 2a \right)}^{2}}+6 \right]$

Shembull 1

Zgjidhje

Nga ndryshesa e katroreve, do të kemi:

Shembull 2

Zgjidhje

Ushtrimi 1

Zgjidhje

Postime te ngjashme: