Shumëzimi i monomit me një polinom. Shumezimi i polinomeve

shumezimi i monomit me nje polinom

Shumëzimi i monomit me një polinom

Përkufizim: “Për të shumëzuar monomin me një polinom, duhet të shumëzohet ky monom me me secilën kufizë të polinomit dhe të mblidhen prodhimet që merren”.

Ushtrimi 1

Shumëzoni monomin $\displaystyle 2x$ me polinomin $\displaystyle 2{{x}^{2}}+3x+4$

Zgjidhje

Shkruajmë prodhimin:

$\displaystyle 2x\left( 2{{x}^{2}}+3x+4 \right)$

$\displaystyle =4{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}+8x$

Nxjerrja në dukje e faktorit të përbashkët

Përkufizim: “Paraqitjen e polinomit në trajtën e prodhimit të dy, osedisa polinomeve, e quajmë zbërthim (faktorizim) të polinomit në faktorë”.

Ushtrimi 1

Zbërtheni në faktorë polinomin:

$\displaystyle {{x}^{5}}+4{{x}^{4}}+7{{x}^{2}}$

Zgjidhje

Nga rregullat e veçimit të shkronjave në formula, do të kemi:

$\displaystyle ={{x}^{2}}\left( {{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+7 \right)$ .

Shumëzimi i dy polinomeve

Rregull: “Për të shumëzuar një polinom më një polinom tjetër, mjafton që çdo kufizë të polinomit të parë ta shumëzojmë me çdo kufizë të polinomit të dytë dhe prodhimet e marra t’I mbledhim”.

Ushtrimi 1

Kryeni shumëzimet:

a) $\displaystyle \left( 2{{x}^{2}}+3x \right)\left( 4x+5 \right)$

b) $\displaystyle \left( 4{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+3 \right)\left( 2{{x}^{2}}+x \right)$

Zgjidhje

a) $\displaystyle \left( 2{{x}^{2}}+3x \right)\left( 4x+5 \right)$

Shumëzojmë çdo kufizë:

$\displaystyle =8{{x}^{3}}+10{{x}^{2}}+12{{x}^{2}}+15x$

Tani reduktojmë kufizat e ngjashme:

$\displaystyle =8{{x}^{3}}+22{{x}^{2}}+15x$

b) $\displaystyle \left( 4{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+3 \right)\left( 2{{x}^{2}}+x \right)$

Shumëzojmë çdo kufizë:

$\displaystyle =8{{x}^{5}}+4{{x}^{4}}+4{{x}^{4}}+2{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}+3x$

Tani reduktojmë kufizat e ngjashme:

$\displaystyle =8{{x}^{5}}+8{{x}^{4}}+2{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}+3x$

Faktorizimi me grupim

Shembull 1

Të zbërthehet në faktorë polinomi $\displaystyle 5x+5y+ax+ay$ .

Zgjidhje

I grupojmë kufizat dy nga dy, në mënyrë që kufizat në çdo grup të kenë faktor të përbashkët.

$\displaystyle 5x+5y+ax+ay$

$\displaystyle \left( 5x+5y \right)+\left( ax+ay \right)$

Tek çdo kllap nxjerrim faktorinë e përbashkët:

$\displaystyle =5\left( x+y \right)+a\left( x+y \right)$

Polinomi i fundit është shumë dy shprehjesh që kanë faktorë të përbashkët (x + y). Duke e nxjerrë në dukje (x + y) marrim:

$\displaystyle =\left( x+y \right)\left( 5+a \right)$

Shembull 2

Zbërtheni në faktorë trinomin $\displaystyle {{x}^{2}}-7x+12$

Zgjidhje

Vëmë re që 12 = 3 ∙ 4, ndërsa 7x = 3x + 4x.

Do të kemi:

$\displaystyle {{x}^{2}}-7x+12={{x}^{2}}-3x-4x+12$

I grupojmë dy nga dy:

$\displaystyle =\left( {{x}^{2}}-3x \right)+\left( -4x+12 \right)$

Nxjerrim në dukje faktorët e përbashkët:

$\displaystyle =x\left( x-3 \right)-4\left( x-3 \right)$

Tani nxjerrim (x – 3) të përbashkët:

$\displaystyle =\left( x-3 \right)\left( x-4 \right)$

Ky quhet faktorizim me grupim.