Detyra.Al Detyra.Al

  • Kreu
  • Matematika
    • Matematika 6
    • Matematika 7
    • Matematika 8
    • Matematika 9
    • Matematika 10
    • Matematika 11
    • Matematika 12
  • Fizika
  • Matematika Baze
  • Matura dhe provimi i lirimit
  • Kimia
    • Kimia 8
    • Kimia 9
Home / Formulat kryesore te algjebres

Formulat kryesore te algjebres

formulat kryesore te algjebres

Katrori i binomit

Një nga formulat më thelbesore në matematikë është katrori i binomit.

Le të jenë A dhe B dy shprehje. Do të japim një trajtë tjetër të \displaystyle {{\left( A+B \right)}^{2}}.

Nga përkufizimi i fuqisë shkruajmë:

\displaystyle {{\left( A+B \right)}^{2}}=\left( A+B \right)\left( A+B \right)

\displaystyle ={{A}^{2}}+AB+AB+{{B}^{2}}

\displaystyle ={{A}^{2}}+2AB+{{B}^{2}}

Përfundim: Katrori i binomit është \displaystyle ={{A}^{2}}+2AB+{{B}^{2}}.

qese plastike

Në të njëjtën mënyrë shkruajmë \displaystyle {{\left( A-B \right)}^{2}}={{A}^{2}}-2AB+{{B}^{2}}

 

 

Ushtrimi 1

Të transformohet \displaystyle {{\left( 2x+3 \right)}^{2}}

 

Zgjidhje

Sipas formules së katrorit të binomit do të kemi:

\displaystyle {{\left( 2x+3 \right)}^{2}}={{\left( 2x \right)}^{2}}+2\cdot 2x\cdot 3+{{3}^{2}}

\displaystyle =4{{x}^{2}}+12x+9

 

 

 

 

 

Katrori i trinomit

A, B dhe C janë tri shprehje. E shkruajmë në një formë tjetër \displaystyle {{\left( A+B+C \right)}^{2}}

Sipas përkufizimit të fuqisë, do të shkruajmë:

\displaystyle {{\left( A+B+C \right)}^{2}}=\left( A+B+C \right)\left( A+B+C \right)

\displaystyle ={{A}^{2}}+AB+AC+AB+{{B}^{2}}+BC+AC+BC+{{C}^{2}}

\displaystyle ={{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}+2AB+2BC+2AC

Përfundim: Katrori i trinomit shkruhet \displaystyle {{\left( A+B+C \right)}^{2}}={{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}+2AB+2BC+2AC.


 

Ushtrimi 2

Të transformohet \displaystyle {{\left( 2x+y+3z \right)}^{2}}

 

Zgjidhje

Sipas formulës së katrorit të trinomit do të shkruajmë:

\displaystyle {{\left( 2x+y+3z \right)}^{2}}

\displaystyle ={{\left( 2x \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( 3z \right)}^{2}}+2\cdot 2xy+2\cdot y\cdot 3z+2\cdot 2x\cdot 3z

\displaystyle =4{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+9{{z}^{2}}+4xy+6yz+12xz

 

 

 

 

 

 

Diferenca e katrorëve

Një nga formulat më të përdorshme në matematikë është gjithashtu dhe diferenca e katrorëve.

Le të jenë A dhe B dy shprehje .

\displaystyle \left( A-B \right)\left( A+B \right)={{A}^{2}}+AB-AB-{{B}^{2}}\displaystyle ={{A}^{2}}-{{B}^{2}}

Përfundim:  Diferenca e katrorëve shkruhet \displaystyle \left( A-B \right)\left( A+B \right)={{A}^{2}}-{{B}^{2}}.

Nga vetia e simetris shkruajmë \displaystyle {{A}^{2}}-{{B}^{2}}=\left( A-B \right)\left( A+B \right).

qese plastike


 

Ushtrimi 3

Të transformohet \displaystyle 16{{x}^{2}}-4{{y}^{2}}

 

Zgjidhje

Nga formula e diferencës së katrorëve shkruajmë:

\displaystyle 16{{x}^{2}}-4{{y}^{2}}={{\left( 4x \right)}^{2}}-{{\left( 2y \right)}^{2}}

\displaystyle =\left( 4x-2y \right)\left( 4x+2y \right)

 

 

 

 

 

 

Kubi i diferencës

Edhe kubi i diferencës është gjithashtu një nga formulat e përdorshme në matematikë

Le te jenë A dhe B dy shprehje.

\displaystyle {{\left( A-B \right)}^{3}}={{\left( A-B \right)}^{2}}\left( A-B \right)

Nga përkufizimi i katrorit të binomit shkruajmë:

\displaystyle =\left( {{A}^{2}}-2AB+{{B}^{2}} \right)\left( A-B \right)

\displaystyle ={{A}^{3}}-{{A}^{2}}B-2{{A}^{2}}B+2A{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}-{{B}^{3}}

\displaystyle ={{A}^{3}}-3{{A}^{2}}B-3A{{B}^{2}}-{{B}^{3}}

Përfundim: Kubi i diferencës shkruhet \displaystyle {{\left( A-B \right)}^{3}}={{A}^{3}}-3{{A}^{2}}B-3A{{B}^{2}}-{{B}^{3}}.

Në të njëjtën mënyrë vërtetohet \displaystyle {{\left( A+B \right)}^{3}}={{A}^{3}}+3{{A}^{2}}B+3A{{B}^{2}}+{{B}^{3}}.

 

 

Ushtrimi 4

Transformoni \displaystyle {{\left( x-2y \right)}^{3}}

 

Zgjidhje

Duke zbatuar vetinë e kubit të diferencës, do të shkruajmë:

\displaystyle {{\left( x-2y \right)}^{3}}={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}\left( 2y \right)+3x{{\left( 2y \right)}^{2}}-{{\left( 2y \right)}^{3}}

\displaystyle ={{x}^{3}}-6{{x}^{2}}y+12x{{y}^{2}}-8{{y}^{3}}

 

 

 

Diferenca e kubeve

Le të jenë A dhe B dy shprehje. Kemi shprehjen \displaystyle {{A}^{3}}-{{B}^{3}}.

Shprehjes \displaystyle {{A}^{3}}-{{B}^{3}} i shtojmë dhe i zbresim \displaystyle 3{{A}^{2}}B+3A{{B}^{2}}.

\displaystyle {{A}^{3}}-{{B}^{3}}={{A}^{3}}-{{B}^{3}}+\left( 3{{A}^{2}}B+3A{{B}^{2}} \right)-\left( 3{{A}^{2}}B+3A{{B}^{2}} \right)

\displaystyle ={{A}^{3}}-{{B}^{3}}+3{{A}^{2}}B+3A{{B}^{2}}-3{{A}^{2}}B-3A{{B}^{2}}

Kryejmë faktorizimin me grupe:

\displaystyle ={{A}^{3}}-3{{A}^{2}}B+3{{A}^{2}}B-{{B}^{3}}+3{{A}^{2}}B-3A{{B}^{2}}

\displaystyle ={{\left( A-B \right)}^{3}}+3AB\left( A-B \right)

Faktorizojmë A-B:

\displaystyle =\left( A-B \right)\left[ {{\left( A-B \right)}^{2}}+3AB \right]

\displaystyle =\left( A-B \right)\left[ {{A}^{2}}-2AB+{{B}^{2}}+3AB \right]

\displaystyle =\left( A-B \right)\left( {{A}^{2}}+AB+{{B}^{2}} \right)

Përfundim: Diferenca e kubeve shkruhet \displaystyle {{A}^{3}}-{{B}^{3}}=\left( A-B \right)\left( {{A}^{2}}+AB+{{B}^{2}} \right).

Në të njëjtën mënyrë vërtetojmë që \displaystyle {{A}^{3}}+{{B}^{3}}=\left( A+B \right)\left( {{A}^{2}}-AB+{{B}^{2}} \right).

 

 

Ushtrimi 5

Të transformohet \displaystyle 27{{x}^{3}}-8{{y}^{3}}

 

Zgjidhje

\displaystyle 27{{x}^{3}}-8{{y}^{3}}={{\left( 9x \right)}^{3}}-{{\left( 2y \right)}^{3}}

Duke zbatuar formulën e diferencës së kubit, shkruajmë:

\displaystyle {{\left( 9x \right)}^{3}}-{{\left( 2y \right)}^{3}}=\left( 9x-2y \right)\left( 81{{x}^{2}}+27xy+4{{y}^{2}} \right).

 

 

Përfundim. Formulat kryesore te algjebres janë:
  • Katrori i binomit\displaystyle ={{A}^{2}}+2AB+{{B}^{2}}

 

  • Katrori i trinomit \displaystyle {{\left( A+B+C \right)}^{2}}={{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}+2AB+2BC+2AC
  • Diferenca e katroreve \displaystyle \left( A-B \right)\left( A+B \right)={{A}^{2}}-{{B}^{2}}
  • Kubi i diferencës \displaystyle {{\left( A-B \right)}^{3}}={{A}^{3}}-3{{A}^{2}}B-3A{{B}^{2}}-{{B}^{3}}
  • Diferenca e kubeve \displaystyle {{A}^{3}}-{{B}^{3}}=\left( A-B \right)\left( {{A}^{2}}+AB+{{B}^{2}} \right)

qese plastike

Copyright © detyra.al
Postime te ngjashme:
  • Provimi i lirimitProvimi i lirimit
  • Matematika 12Matematika 12
  • Matematika BazeMatematika Baze
  • Derivative of sin^2(x)Derivative of sin^2(x)
  • Matematika 9Matematika 9
  • MatematikaMatematika
  • Matematika 6Matematika 6
  • PesekendeshatPesekendeshat
  • Numrat NatyroreNumrat Natyrore
  • Thyesat AlgjebrikeThyesat Algjebrike
  • Matematika 7Matematika 7
  • Formulat e VietesFormulat e Vietes
  • Integrimi me thyesa te pjeseshmeIntegrimi me thyesa te pjeseshme
  • Matematika 11Matematika 11
  • Numrat e ThjeshteNumrat e Thjeshte
  • Matematika 8Matematika 8
algjebraalgjebra klasa 10Diferenca e katroreveDiferenca e kubeveformula kryesore te matematikesformulat kryesoreFormulat kryesore te algjebresfuqiteKatrori i trinomitKatrorit i binomitklasa 10Kubi i diferencësperkufizimi i diferences se katroreveperkufizimi i diferences se kuitperkufizimi i katrorit te binomitperkufizimi i katrorit te trinomit

Kerko Mesime

Pages

  • Fizika
    • Fizika 7
  • Kimia
    • Kimia 8
    • Kimia 9
  • Kontakt
  • Kreu
  • Matura dhe provimi i lirimit

Sponcor Ju-Ar Plast Sh.P.K

Ju-Ar Plast Sh.P.K

Postime te ngjashme:

  • Matematika Baze
  • Matematika 9
  • Matematika 8
  • Provimi i lirimit
  • Matematika 6
  • Matematika
  • Matematika 10
  • Matematika 7
  • Matematika 12
  • Matematika 11

qese plastike

Ju-Ar Plast Sh.P.K

Na kontaktoni

Detyra.al është një platformë eduktaive online e cila vjen në ndihmë të nxënësve të klasave të 6-12 me leksione, ushtrime dhe teza provimesh.

Email: info@detyra.al