Formulat kryesore te algjebres | Matematika 10

Katrori i binomit

Një nga formulat më thelbesore në matematikë është katrori i binomit.

Le të jenë A dhe B dy shprehje. Do të japim një trajtë tjetër të $\displaystyle {{\left( A+B \right)}^{2}}$ .

Nga përkufizimi i fuqisë shkruajmë:

$\displaystyle {{\left( A+B \right)}^{2}}=\left( A+B \right)\left( A+B \right)$

$\displaystyle ={{A}^{2}}+AB+AB+{{B}^{2}}$

$\displaystyle ={{A}^{2}}+2AB+{{B}^{2}}$

Përfundim: Katrori i binomit është $\displaystyle ={{A}^{2}}+2AB+{{B}^{2}}$ .

Në të njëjtën mënyrë shkruajmë $\displaystyle {{\left( A-B \right)}^{2}}={{A}^{2}}-2AB+{{B}^{2}}$

Ushtrimi 1

Të transformohet $\displaystyle {{\left( 2x+3 \right)}^{2}}$

Zgjidhje

Sipas formules së katrorit të binomit do të kemi:

$\displaystyle {{\left( 2x+3 \right)}^{2}}={{\left( 2x \right)}^{2}}+2\cdot 2x\cdot 3+{{3}^{2}}$

$\displaystyle =4{{x}^{2}}+12x+9$

Katrori i trinomit

A, B dhe C janë tri shprehje. E shkruajmë në një formë tjetër $\displaystyle {{\left( A+B+C \right)}^{2}}$

Sipas përkufizimit të fuqisë, do të shkruajmë:

$\displaystyle {{\left( A+B+C \right)}^{2}}=\left( A+B+C \right)\left( A+B+C \right)$

$\displaystyle ={{A}^{2}}+AB+AC+AB+{{B}^{2}}+BC+AC+BC+{{C}^{2}}$

$\displaystyle ={{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}+2AB+2BC+2AC$

Përfundim: Katrori i trinomit shkruhet $\displaystyle {{\left( A+B+C \right)}^{2}}={{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}+2AB+2BC+2AC$ .

Ushtrimi 2

Të transformohet $\displaystyle {{\left( 2x+y+3z \right)}^{2}}$

Zgjidhje

Sipas formulës së katrorit të trinomit do të shkruajmë:

$\displaystyle {{\left( 2x+y+3z \right)}^{2}}$

$\displaystyle ={{\left( 2x \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( 3z \right)}^{2}}+2\cdot 2xy+2\cdot y\cdot 3z+2\cdot 2x\cdot 3z$

$\displaystyle =4{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+9{{z}^{2}}+4xy+6yz+12xz$

Diferenca e katrorëve

Një nga formulat më të përdorshme në matematikë është gjithashtu dhe diferenca e katrorëve.

Le të jenë A dhe B dy shprehje .

$\displaystyle \left( A-B \right)\left( A+B \right)={{A}^{2}}+AB-AB-{{B}^{2}}$ $\displaystyle ={{A}^{2}}-{{B}^{2}}$

Përfundim: Diferenca e katrorëve shkruhet $\displaystyle \left( A-B \right)\left( A+B \right)={{A}^{2}}-{{B}^{2}}$ .

Nga vetia e simetris shkruajmë $\displaystyle {{A}^{2}}-{{B}^{2}}=\left( A-B \right)\left( A+B \right)$ .

Ushtrimi 3

Të transformohet $\displaystyle 16{{x}^{2}}-4{{y}^{2}}$

Zgjidhje

Nga formula e diferencës së katrorëve shkruajmë:

$\displaystyle 16{{x}^{2}}-4{{y}^{2}}={{\left( 4x \right)}^{2}}-{{\left( 2y \right)}^{2}}$

$\displaystyle =\left( 4x-2y \right)\left( 4x+2y \right)$

Kubi i diferencës

Edhe kubi i diferencës është gjithashtu një nga formulat e përdorshme në matematikë

Le te jenë A dhe B dy shprehje.

$\displaystyle {{\left( A-B \right)}^{3}}={{\left( A-B \right)}^{2}}\left( A-B \right)$

Nga përkufizimi i katrorit të binomit shkruajmë:

$\displaystyle =\left( {{A}^{2}}-2AB+{{B}^{2}} \right)\left( A-B \right)$

$\displaystyle ={{A}^{3}}-{{A}^{2}}B-2{{A}^{2}}B+2A{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}-{{B}^{3}}$

$\displaystyle ={{A}^{3}}-3{{A}^{2}}B-3A{{B}^{2}}-{{B}^{3}}$

Përfundim: Kubi i diferencës shkruhet $\displaystyle {{\left( A-B \right)}^{3}}={{A}^{3}}-3{{A}^{2}}B-3A{{B}^{2}}-{{B}^{3}}$ .

Në të njëjtën mënyrë vërtetohet $\displaystyle {{\left( A+B \right)}^{3}}={{A}^{3}}+3{{A}^{2}}B+3A{{B}^{2}}+{{B}^{3}}$ .

Ushtrimi 4

Transformoni $\displaystyle {{\left( x-2y \right)}^{3}}$

Zgjidhje

Duke zbatuar vetinë e kubit të diferencës, do të shkruajmë:

$\displaystyle {{\left( x-2y \right)}^{3}}={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}\left( 2y \right)+3x{{\left( 2y \right)}^{2}}-{{\left( 2y \right)}^{3}}$

$\displaystyle ={{x}^{3}}-6{{x}^{2}}y+12x{{y}^{2}}-8{{y}^{3}}$

Diferenca e kubeve

Le të jenë A dhe B dy shprehje. Kemi shprehjen $\displaystyle {{A}^{3}}-{{B}^{3}}$ .

Shprehjes $\displaystyle {{A}^{3}}-{{B}^{3}}$ i shtojmë dhe i zbresim $\displaystyle 3{{A}^{2}}B+3A{{B}^{2}}$ .

$\displaystyle {{A}^{3}}-{{B}^{3}}={{A}^{3}}-{{B}^{3}}+\left( 3{{A}^{2}}B+3A{{B}^{2}} \right)-\left( 3{{A}^{2}}B+3A{{B}^{2}} \right)$

$\displaystyle ={{A}^{3}}-{{B}^{3}}+3{{A}^{2}}B+3A{{B}^{2}}-3{{A}^{2}}B-3A{{B}^{2}}$

Kryejmë faktorizimin me grupe:

$\displaystyle ={{A}^{3}}-3{{A}^{2}}B+3{{A}^{2}}B-{{B}^{3}}+3{{A}^{2}}B-3A{{B}^{2}}$

$\displaystyle ={{\left( A-B \right)}^{3}}+3AB\left( A-B \right)$

Faktorizojmë A-B:

$\displaystyle =\left( A-B \right)\left[ {{\left( A-B \right)}^{2}}+3AB \right]$

$\displaystyle =\left( A-B \right)\left[ {{A}^{2}}-2AB+{{B}^{2}}+3AB \right]$

$\displaystyle =\left( A-B \right)\left( {{A}^{2}}+AB+{{B}^{2}} \right)$

Përfundim: Diferenca e kubeve shkruhet $\displaystyle {{A}^{3}}-{{B}^{3}}=\left( A-B \right)\left( {{A}^{2}}+AB+{{B}^{2}} \right)$ .

Në të njëjtën mënyrë vërtetojmë që $\displaystyle {{A}^{3}}+{{B}^{3}}=\left( A+B \right)\left( {{A}^{2}}-AB+{{B}^{2}} \right)$ .

Ushtrimi 5

Të transformohet $\displaystyle 27{{x}^{3}}-8{{y}^{3}}$

Zgjidhje

$\displaystyle 27{{x}^{3}}-8{{y}^{3}}={{\left( 9x \right)}^{3}}-{{\left( 2y \right)}^{3}}$

Duke zbatuar formulën e diferencës së kubit, shkruajmë:

$\displaystyle {{\left( 9x \right)}^{3}}-{{\left( 2y \right)}^{3}}=\left( 9x-2y \right)\left( 81{{x}^{2}}+27xy+4{{y}^{2}} \right)$ .

Përfundim. Formulat kryesore te algjebres janë:

Katrori i binomit $\displaystyle ={{A}^{2}}+2AB+{{B}^{2}}$

Katrori i trinomit $\displaystyle {{\left( A+B+C \right)}^{2}}={{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}+2AB+2BC+2AC$

Diferenca e katroreve $\displaystyle \left( A-B \right)\left( A+B \right)={{A}^{2}}-{{B}^{2}}$

Kubi i diferencës $\displaystyle {{\left( A-B \right)}^{3}}={{A}^{3}}-3{{A}^{2}}B-3A{{B}^{2}}-{{B}^{3}}$

Diferenca e kubeve $\displaystyle {{A}^{3}}-{{B}^{3}}=\left( A-B \right)\left( {{A}^{2}}+AB+{{B}^{2}} \right)$