Detyra.Al Detyra.Al

  • Kreu
  • Matematika
    • Matematika 6
    • Matematika 7
    • Matematika 8
    • Matematika 9
    • Matematika 10
    • Matematika 11
    • Matematika 12
  • Fizika
  • Matematika Baze
  • Matura dhe provimi i lirimit
  • Kimia
    • Kimia 8
    • Kimia 9
Home / Ekuacioni eksponencial dhe logaritmik

Ekuacioni eksponencial dhe logaritmik

ekuacioni eksponencial

Ekuacioni eksponencial

Përkufizim: “Ekuacioni që pas shndërrimesh të njëvlershme sillet në trajtën \displaystyle {{a}^{x}}=b quhet ekuacion eksponencial (a>0)”.

Fuqia e çdo numri pozitiv është numër pozitiv, atëherë ekuacioni eksponencial nuk ka zgjidhe nëse \displaystyle b\le 0.

Do të zgjidhim disa tipa ekuacionesh eksponenciale:

 

 

 

Ushtrimi 1

Të zgjidhet ekuacioni \displaystyle {{2}^{x}}=3

qese plastike

 

Zgjidhje

Meqë 3 nuk mund të shkruhet si fuqi me bazë 2, atëherë logaritmojmë të dy anët. Do të kemi:

\displaystyle \log {{2}^{x}}=\log 3.

Nga vetia e tretë e logaritmeve kemi \displaystyle \log {{2}^{x}}=x\log 2, ndaj barazimi do të shkruhej kështu:

\displaystyle x\log 2=\log 3

\displaystyle x=\frac{\log 3}{\log 2}.

Përgjigje: Zgjidhje e ekuacionit eksponencial është bashkësia \displaystyle A=\left\{ \frac{\log 3}{\log 2} \right\}.

 

 

 

Per me shume shembuj te zgjidhur me ekuacionet e fuqise se pare me nje ndryshore shikoni Ushtrime te zgjidhura – Ekuacione


 

Ushtrimi 2

Të zgjidhet ekuacioni \displaystyle {{2}^{3x}}\cdot {{\left( \frac{1}{4} \right)}^{x}}=16

 

Zgjidhje

I kthejmë të gjithë faktorët në fuqi me bazë 2. Nga vetitë e fuqive shkruajmë:

\displaystyle {{2}^{3x}}\cdot {{2}^{-2}}^{x}={{2}^{4}}

\displaystyle {{2}^{x}}={{2}^{4}}

Dy fuqi të barabarta dhe me baza të barabarta kanë eksponent të barabartë, ndaj shkruajmë:

\displaystyle x=4.

Përgjigje: Zgjidhje e ekuacionit eksponencial është bashkësia \displaystyle A=\left\{ 4 \right\}.

 

 

 

 

 

Ushtrimi 3

Të zgjidhet ekuacioni \displaystyle {{2}^{2x}}+5\cdot {{2}^{x}}-6=0

 

Zgjidhje

Nga vetitë e fuqive mund të shkruajmë \displaystyle {{2}^{2x}}={{\left( {{2}^{x}} \right)}^{2}}. Do të kemi:

\displaystyle {{\left( {{2}^{x}} \right)}^{2}}+5\cdot {{2}^{x}}-6=0

Duke zëvëndësuar \displaystyle {{2}^{x}} me t do të kemi:

\displaystyle {{t}^{2}}+5\cdot t-6=0

E kthyem ekuacionin në ekuacion të fuqisë së dytë me një ndryshore.

Zgjidhjet e ekuacionit janë \displaystyle {{t}_{1}}=1 dhe \displaystyle {{t}_{2}}=-6.

Tek fuqitë është marrë me marrëveshje se 1 është i barabartë me një fuqi me eksponent zero me çfarëdo baze të ndryshme nga zero. Pra, \displaystyle {{2}^{x}}={{2}^{0}} del \displaystyle x=0.

Ekuacioni \displaystyle {{2}^{x}}=-6 nuk ka zgjidhje sepse \displaystyle {{a}^{x}}>0 për çdo x.

Përgjigje: Zgjidhje e ekuacionit eksponencial është bashkësia \displaystyle A=\left\{ 0 \right\}.

 

 

 

 

qese plastike

 

Ekuacioni logaritmik

Ekuacioni me trajtë kanonike \displaystyle {{\log }_{a}}f\left( x \right)=b quhet ekuacion logaritmik.

Një ekuacion ka zgjidhje nëse \displaystyle f\left( x \right)>0.

Zgjidhja e ekuacionit logaritmik kalon në dy faza:

  1. Zgjidhet duke pasur parasysh vetitë e logaritmeve.
  2. Për zgjidhjet e gjetura bëhet prova në ekuacionin e dhënë.

 

 

Ushtrimi 1

Të zgjidhet ekuacioni \displaystyle \log \left( 2x-1 \right)=2

 

Zgjidhje

Duke u nisur nga kuptimi i logaritmit mund të shkruajmë \displaystyle 2x-1={{10}^{2}}.

Fituam një ekuacion të fuqisë së parë. Zgjidhje e ekuacionit është \displaystyle x=\frac{99}{2}.

Meqë nuk zbatuam asnjë nga tri vetitë e logaritmeve nuk është e nevojshme të bëjmë provën.

Përgjigje: Zgjidhje e ekuacionit është bashkësia \displaystyle A=\left\{ \frac{99}{2} \right\}.

 

 

 

 

 

Ushtrimi 2

Të zgjidhet ekuacioni \displaystyle \log \left( x+1 \right)+\log x=\log 2

 

Zgjidhje

Në anën e majtë zbatojmë vetinë e parë të logaritmeve dhe do të kemi:

\displaystyle \log \left( x+1 \right)\cdot x=\log 2

\displaystyle \log \left( {{x}^{2}}+x \right)=\log 2

Meqënëse logaritmet janë të barabarta dhe shprehjet nën shënjën e tyre janë të barabarta, shkruajmë:

\displaystyle {{x}^{2}}+x=2

\displaystyle {{x}^{2}}+x-2=0

Fituam një ekuacion të fuqisë së dytë me një ndryshore.

\displaystyle D={{b}^{2}}-4ac

\displaystyle D=1+8=9

\displaystyle _{1}{{x}_{2}}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}

\displaystyle {{x}_{1}}=\frac{-1-3}{2}=-2

\displaystyle {{x}_{2}}=\frac{-1+3}{2}=1.

 

Zëvëndësojmë \displaystyle {{x}_{1}} tek ekuacioni:

\displaystyle \log \left( 2{{\left( -2 \right)}^{2}}-2 \right)=\log 2

\displaystyle \log 6=\log 2, pra \displaystyle {{x}_{1}}=-2 nuk është zgjidhje për ekuacionin tonë.

 

Zëvëndësojmë \displaystyle {{x}_{2}} tek ekuacioni:

\displaystyle \log \left( 2\cdot {{1}^{2}}+1 \right)=\log 2

\displaystyle \log 3=\log 2, pra \displaystyle {{x}_{1}}=-2 nuk është zgjidhje për ekuacionin tonë.

 

Përgjigje: Ekuacioni ynë nuk ka rrënjë reale.

qese plastike

Copyright © detyra.al
Ekuacione eksponencialeEkuacione eksponenciale dhe logaritmikeEkuacioni eksponencialEkuacioni eksponencial dhe logaritmikEkuacioni logaritmikmatematika 10si zgjidhet ekuacioni eksponencialsi zgjidhet ekuacioni logaritmikvetite e fuqiveVetitë e logaritmeveVetitë e logaritmit

Kerko Mesime

Pages

  • Fizika
    • Fizika 7
  • Kimia
    • Kimia 8
    • Kimia 9
  • Kontakt
  • Kreu
  • Matura dhe provimi i lirimit

Sponcor Ju-Ar Plast Sh.P.K

Ju-Ar Plast Sh.P.K

Postime te ngjashme:

qese plastike

Ju-Ar Plast Sh.P.K

Na kontaktoni

Detyra.al është një platformë eduktaive online e cila vjen në ndihmë të nxënësve të klasave të 6-12 me leksione, ushtrime dhe teza provimesh.

Email: info@detyra.al