Ekuacioni eksponencial dhe logaritmik | Matematika 10

Ekuacioni eksponencial

Përkufizim: “Ekuacioni që pas shndërrimesh të njëvlershme sillet në trajtën $\displaystyle {{a}^{x}}=b$ quhet ekuacion eksponencial (a>0)”.

Fuqia e çdo numri pozitiv është numër pozitiv, atëherë ekuacioni eksponencial nuk ka zgjidhe nëse $\displaystyle b\le 0$ .

Do të zgjidhim disa tipa ekuacionesh eksponenciale:

Ushtrimi 1

Të zgjidhet ekuacioni $\displaystyle {{2}^{x}}=3$

Zgjidhje

Meqë 3 nuk mund të shkruhet si fuqi me bazë 2, atëherë logaritmojmë të dy anët. Do të kemi:

$\displaystyle \log {{2}^{x}}=\log 3$ .

Nga vetia e tretë e logaritmeve kemi $\displaystyle \log {{2}^{x}}=x\log 2$ , ndaj barazimi do të shkruhej kështu:

$\displaystyle x\log 2=\log 3$

$\displaystyle x=\frac{\log 3}{\log 2}$ .

Përgjigje: Zgjidhje e ekuacionit eksponencial është bashkësia $\displaystyle A=\left\{ \frac{\log 3}{\log 2} \right\}$ .

Ushtrimi 2

Të zgjidhet ekuacioni $\displaystyle {{2}^{3x}}\cdot {{\left( \frac{1}{4} \right)}^{x}}=16$

Zgjidhje

I kthejmë të gjithë faktorët në fuqi me bazë 2. Nga vetitë e fuqive shkruajmë:

$\displaystyle {{2}^{3x}}\cdot {{2}^{-2}}^{x}={{2}^{4}}$

$\displaystyle {{2}^{x}}={{2}^{4}}$

Dy fuqi të barabarta dhe me baza të barabarta kanë eksponent të barabartë, ndaj shkruajmë:

$\displaystyle x=4$ .

Përgjigje: Zgjidhje e ekuacionit eksponencial është bashkësia $\displaystyle A=\left\{ 4 \right\}$ .

Ushtrimi 3

Të zgjidhet ekuacioni $\displaystyle {{2}^{2x}}+5\cdot {{2}^{x}}-6=0$

Zgjidhje

Nga vetitë e fuqive mund të shkruajmë $\displaystyle {{2}^{2x}}={{\left( {{2}^{x}} \right)}^{2}}$ . Do të kemi:

$\displaystyle {{\left( {{2}^{x}} \right)}^{2}}+5\cdot {{2}^{x}}-6=0$

Duke zëvëndësuar $\displaystyle {{2}^{x}}$ me t do të kemi:

$\displaystyle {{t}^{2}}+5\cdot t-6=0$

E kthyem ekuacionin në ekuacion të fuqisë së dytë me një ndryshore.

Zgjidhjet e ekuacionit janë $\displaystyle {{t}_{1}}=1$ dhe $\displaystyle {{t}_{2}}=-6$ .

Tek fuqitë është marrë me marrëveshje se 1 është i barabartë me një fuqi me eksponent zero me çfarëdo baze të ndryshme nga zero. Pra, $\displaystyle {{2}^{x}}={{2}^{0}}$ del $\displaystyle x=0$ .

Ekuacioni $\displaystyle {{2}^{x}}=-6$ nuk ka zgjidhje sepse $\displaystyle {{a}^{x}}>0$ për çdo x.

Përgjigje: Zgjidhje e ekuacionit eksponencial është bashkësia $\displaystyle A=\left\{ 0 \right\}$ .

Ekuacioni logaritmik

Ekuacioni me trajtë kanonike $\displaystyle {{\log }_{a}}f\left( x \right)=b$ quhet ekuacion logaritmik.

Një ekuacion ka zgjidhje nëse $\displaystyle f\left( x \right)>0$ .

Zgjidhja e ekuacionit logaritmik kalon në dy faza:

Zgjidhet duke pasur parasysh vetitë e logaritmeve.
Për zgjidhjet e gjetura bëhet prova në ekuacionin e dhënë.

Ushtrimi 1

Të zgjidhet ekuacioni $\displaystyle \log \left( 2x-1 \right)=2$

Zgjidhje

Duke u nisur nga kuptimi i logaritmit mund të shkruajmë $\displaystyle 2x-1={{10}^{2}}$ .

Fituam një ekuacion të fuqisë së parë. Zgjidhje e ekuacionit është $\displaystyle x=\frac{99}{2}$ .

Meqë nuk zbatuam asnjë nga tri vetitë e logaritmeve nuk është e nevojshme të bëjmë provën.

Përgjigje: Zgjidhje e ekuacionit është bashkësia $\displaystyle A=\left\{ \frac{99}{2} \right\}$ .

Ushtrimi 2

Të zgjidhet ekuacioni $\displaystyle \log \left( x+1 \right)+\log x=\log 2$

Zgjidhje

Në anën e majtë zbatojmë vetinë e parë të logaritmeve dhe do të kemi:

$\displaystyle \log \left( x+1 \right)\cdot x=\log 2$

$\displaystyle \log \left( {{x}^{2}}+x \right)=\log 2$

Meqënëse logaritmet janë të barabarta dhe shprehjet nën shënjën e tyre janë të barabarta, shkruajmë:

$\displaystyle {{x}^{2}}+x=2$

$\displaystyle {{x}^{2}}+x-2=0$

Fituam një ekuacion të fuqisë së dytë me një ndryshore.

$\displaystyle D={{b}^{2}}-4ac$

$\displaystyle D=1+8=9$

$\displaystyle _{1}{{x}_{2}}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$

$\displaystyle {{x}_{1}}=\frac{-1-3}{2}=-2$

$\displaystyle {{x}_{2}}=\frac{-1+3}{2}=1$ .

Zëvëndësojmë $\displaystyle {{x}_{1}}$ tek ekuacioni:

$\displaystyle \log \left( 2{{\left( -2 \right)}^{2}}-2 \right)=\log 2$

$\displaystyle \log 6=\log 2$ , pra $\displaystyle {{x}_{1}}=-2$ nuk është zgjidhje për ekuacionin tonë.

Zëvëndësojmë $\displaystyle {{x}_{2}}$ tek ekuacioni:

$\displaystyle \log \left( 2\cdot {{1}^{2}}+1 \right)=\log 2$

$\displaystyle \log 3=\log 2$ , pra $\displaystyle {{x}_{1}}=-2$ nuk është zgjidhje për ekuacionin tonë.

Përgjigje: Ekuacioni ynë nuk ka rrënjë reale.