Ekuacioni eksponencial
Përkufizim: “Ekuacioni që pas shndërrimesh të njëvlershme sillet në trajtën quhet ekuacion eksponencial (a>0)”.
Fuqia e çdo numri pozitiv është numër pozitiv, atëherë ekuacioni eksponencial nuk ka zgjidhe nëse .
Do të zgjidhim disa tipa ekuacionesh eksponenciale:
Ushtrimi 1
Të zgjidhet ekuacioni
Zgjidhje
Meqë 3 nuk mund të shkruhet si fuqi me bazë 2, atëherë logaritmojmë të dy anët. Do të kemi:
.
Nga vetia e tretë e logaritmeve kemi , ndaj barazimi do të shkruhej kështu:
.
Përgjigje: Zgjidhje e ekuacionit eksponencial është bashkësia .
Per me shume shembuj te zgjidhur me ekuacionet e fuqise se pare me nje ndryshore shikoni Ushtrime te zgjidhura – Ekuacione
Ushtrimi 2
Të zgjidhet ekuacioni
Zgjidhje
I kthejmë të gjithë faktorët në fuqi me bazë 2. Nga vetitë e fuqive shkruajmë:
Dy fuqi të barabarta dhe me baza të barabarta kanë eksponent të barabartë, ndaj shkruajmë:
.
Përgjigje: Zgjidhje e ekuacionit eksponencial është bashkësia .
Ushtrimi 3
Të zgjidhet ekuacioni
Zgjidhje
Nga vetitë e fuqive mund të shkruajmë . Do të kemi:
Duke zëvëndësuar me t do të kemi:
E kthyem ekuacionin në ekuacion të fuqisë së dytë me një ndryshore.
Zgjidhjet e ekuacionit janë dhe
.
Tek fuqitë është marrë me marrëveshje se 1 është i barabartë me një fuqi me eksponent zero me çfarëdo baze të ndryshme nga zero. Pra, del
.
Ekuacioni nuk ka zgjidhje sepse
për çdo x.
Përgjigje: Zgjidhje e ekuacionit eksponencial është bashkësia .
Ekuacioni logaritmik
Ekuacioni me trajtë kanonike quhet ekuacion logaritmik.
Një ekuacion ka zgjidhje nëse .
Zgjidhja e ekuacionit logaritmik kalon në dy faza:
- Zgjidhet duke pasur parasysh vetitë e logaritmeve.
- Për zgjidhjet e gjetura bëhet prova në ekuacionin e dhënë.
Ushtrimi 1
Të zgjidhet ekuacioni
Zgjidhje
Duke u nisur nga kuptimi i logaritmit mund të shkruajmë .
Fituam një ekuacion të fuqisë së parë. Zgjidhje e ekuacionit është .
Meqë nuk zbatuam asnjë nga tri vetitë e logaritmeve nuk është e nevojshme të bëjmë provën.
Përgjigje: Zgjidhje e ekuacionit është bashkësia .
Ushtrimi 2
Të zgjidhet ekuacioni
Zgjidhje
Në anën e majtë zbatojmë vetinë e parë të logaritmeve dhe do të kemi:
Meqënëse logaritmet janë të barabarta dhe shprehjet nën shënjën e tyre janë të barabarta, shkruajmë:
Fituam një ekuacion të fuqisë së dytë me një ndryshore.
.
Zëvëndësojmë tek ekuacioni:
, pra
nuk është zgjidhje për ekuacionin tonë.
Zëvëndësojmë tek ekuacioni:
, pra
nuk është zgjidhje për ekuacionin tonë.
Përgjigje: Ekuacioni ynë nuk ka rrënjë reale.