Logaritmi. Kuptimi i logaritmit | Matematika 10

Kuptimi i logaritmit

Përkufizim: “ Logaritem me bazë a i një numri b quhet eksponenti x i fuqisë me bazë a nëse fuqia është b”.

Shënimi për të treguar logaritmin e një numri është $\displaystyle {{\log }_{a}}b$ dhe lexohet logaritmi me bazë a i numrit b.

Nëse ky logaritëm është x, atëherë kemi $\displaystyle {{\log }_{a}}b$ , a quhet bazë e logaritmit, b numri nën logaritëm dhe x logaritmi.

Nga përkufizimi shkruajmë:

$\displaystyle {{\log }_{a}}b=x\Leftrightarrow {{a}^{x}}=b$

Si bazë e logaritmit mund të shërbejë çdo numër i ndryshëm nga njëshi. Nëse baza është 10, atëherë quhet logaritëm dhjetor dhe simbolikisht shënohet $\displaystyle \log b$ . Pra, baza nuk shënohet. Lexohet logaritmi dhjetor i b-së.

Një vlerë që mund të marrë a-ja është numri i Neperit, që shenohet $\displaystyle e=2,71828...$ . Në këtë rast quhet logaritëm natyror. Simbolikisht shënohet $\displaystyle \ln b$ . Lexohet logaritmi natyrorë i b-së.

Shembull 1

Gjeni $\displaystyle {{\log }_{5}}25$ .

Zgjidhje

Nga përkufizimi shkruajmë:

$\displaystyle {{\log }_{5}}25=x\Leftrightarrow {{5}^{x}}=25$ .

Nga vetitë e fuqive kemi $\displaystyle x=5$ .

Përkufizim: “ $\displaystyle {{\log }_{a}}b$ (0<a, $\displaystyle a\ne 1$ ) ekziston atëherë dhe vetëm atëherë kur b>0 dhe ky logaritëm është i vetëm”.

Teoremë: ”Nëse $\displaystyle {{\log }_{a}}A={{\log }_{a}}B$ atëherë A=B”.

Vërtetim. Shenojmë $\displaystyle {{\log }_{a}}A={{\log }_{a}}B=x$ .

Nga përkufizimi i logaritmit shkruajmë:

$\displaystyle {{a}^{x}}=A$ dhe $\displaystyle {{a}^{x}}=B$ . Nga vetia e kalimit të barazimeve shkruajmë A=B.

Vetitë e logaritmeve

Logaritmi i prodhimit

Teoremë: “Nëse A dhe B janë dy numra pozitivë dhe $\displaystyle 0<a$ , $\displaystyle a\ne 1$ , atëherë $\displaystyle {{\log }_{a}}\left( A\cdot B \right)={{\log }_{a}}A+{{\log }_{a}}B$ ”.

Logaritmi i herësit

Nëse A dhe B janë dy numra pozitivë dhe $\displaystyle 0<a$ , $\displaystyle a\ne 1$ , atëherë $\displaystyle {{\log }_{a}}\frac{A}{B}={{\log }_{a}}A-{{\log }_{a}}B$ .

Logaritmi i fuqisë

Nëse A është numër pozitiv dhe $\displaystyle 0<a$ , $\displaystyle a\ne 1$ , atëherë $\displaystyle {{\log }_{a}}{{A}^{x}}=x\cdot {{\log }_{a}}A$ .

Ushtrimi 1

Të llogaritet me ndihmën e vetive të logaritmit: $\displaystyle \log 5\cdot \log 20+{{\left( \log 2 \right)}^{2}}$ c.

Zgjidhje

Vëmë re se gjithë logaritmet nuk kanë bazë, pra do të thotë se baza e logaritmit është 10.

Zbatojmë vetinë e prodhimit dhe të fuqisë për zgjidhjen e ushtrimit:

$\displaystyle \log 5\cdot \log 20+{{\left( \log 2 \right)}^{2}}$

$\displaystyle =\log \left( 5+20 \right)+2\cdot \log 2$

$\displaystyle =\log 25+2\cdot \log 2$ .

$\displaystyle =\log 100=10$

Shembull 1

Zgjidhje

Vetitë e logaritmeve

Ushtrimi 1

Të llogaritet me ndihmën e vetive të logaritmit: c.

Zgjidhje

Të llogaritet me ndihmën e vetive të logaritmit: $\displaystyle \log 5\cdot \log 20+{{\left( \log 2 \right)}^{2}}$ c.