Detyra.Al Detyra.Al

  • Kreu
  • Matematika
    • Matematika 6
    • Matematika 7
    • Matematika 8
    • Matematika 9
    • Matematika 10
    • Matematika 11
    • Matematika 12
  • Fizika
  • Matematika Baze
  • Matura dhe provimi i lirimit
  • Kimia
    • Kimia 8
    • Kimia 9
Home / Integrali i caktuar

Integrali i caktuar

caktuar

Përkufizimi i integralit të caktuar

Dimë se dy primitive të të njëjtit funksion f ndryshojnë nga njëri-tjetri me një konstante, pra \displaystyle F\left( x \right)-G\left( x \right)=c.

Duke zëvëndësuar x=b dhe x=a, kemi:

\displaystyle F\left( b \right)-G\left( b \right)=c dhe \displaystyle F\left( a \right)-G\left( a \right)=c nga ku: \displaystyle F\left( b \right)-G\left( b \right)=F\left( a \right)-G\left( a \right) ose \displaystyle F\left( b \right)-F\left( a \right)=G\left( b \right)-G\left( a \right).

Nga ky barazim del që për të gjetur diferencën \displaystyle G\left( b \right)-G\left( a \right) mjafton të gjejmë diferencën \displaystyle F\left( b \right)-F\left( a \right), ku F është një primitiv çfarëdo i funksionit F.

qese plastike

Përkufizim: “Diferenca e njëjtë \displaystyle F\left( b \right)-F\left( a \right) e vlerave të një primitivi çfarëdo F të funksionit f”.

Në pikat x=a dhe x=b quhet integral i caktuar i tij në segmentin \displaystyle \left[ a,b \right] dhe shënohet me simbolin \displaystyle \int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}).

Lexohet integrali i caktuar nga a në b i \displaystyle f\left( x \right)dx. \displaystyle a quhet kufiri i poshtëm i integrimit, kurse \displaystyle b quhet kufiri i sipërm i integrimit.

Sipas këtij përkufizimi kemi:

\displaystyle \int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}=F\left( b \right)-F\left( a \right).

Duke shënuar \displaystyle F\left( b \right)-F\left( a \right)=F\left( x \right)|_{a}^{b} kemi:

\displaystyle \int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}=F\left( x \right)|_{a}^{b}=F\left( b \right)-F\left( a \right). Ky quhet përkufizimi i integralit të caktuar.

Pra, për njehsimin e integralit të caktuar \displaystyle \int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx} kryhen veprimet e mëposhtme:

  1. Gjendet një primitiv çfarëdo F i funksionit f, dmth integral i pacaktuar i tij \displaystyle \int{f\left( x \right)dx}.
  2. Njehsohet diferenca \displaystyle F\left( b \right)-F\left( a \right)=F\left( x \right)|_{a}^{b} e vlerave të funksionit \displaystyle F\left( x \right), për x=b dhe x=a.

 

Shembull 1

Të njehsohet integrali i caktuar \displaystyle \int\limits_{0}^{1}{\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)}dx

Zgjidhje

\displaystyle \int\limits_{0}^{1}{\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)}dx=\left( \frac{{{x}^{3}}}{3}-\frac{{{x}^{2}}}{2}+x \right)|_{0}^{1}

\displaystyle =\left( \frac{{{1}^{3}}}{3}-\frac{{{1}^{2}}}{2}+1 \right)-\left( \frac{{{0}^{3}}}{3}-\frac{{{0}^{2}}}{2}+0 \right)

\displaystyle =\frac{2}{6}-\frac{3}{6}+\frac{6}{6}-0=\frac{5}{6}

 

 

 

Veti të integralit të caktuar

  1. Shumëzuesi konstant mund të dal jashtë shënjës së integralit të caktuar

 \displaystyle \int\limits_{a}^{b}{k\cdot f\left( x \right)dx}=k\cdot \int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}

 

  1. Integrali i caktuar i shumës algjebrike të disa funksioneve të barabarta është i barabartë me shumën algjebrike të integraleve të caktuara të këtyre funksioneve.

 

 \displaystyle \int\limits_{a}^{b}{\left[ f\left( x \right)+g\left( x \right) \right]dx}=

 = \int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}+\int\limits_{a}^{b}{g\left( x \right)dx}

 

 

 

  1. Në qoftë se c është një pikë e segmentit \displaystyle \left[ a,b \right], atëherë:

\displaystyle \int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx=}\int\limits_{a}^{c}{f\left( x \right)dx+\int\limits_{c}^{b}{f\left( x \right)dx}}.

 

 

Gjithashtu pranojmë me marrëveshje se:

\displaystyle \int\limits_{a}^{a}{f\left( x \right)dx=}0 dhe \displaystyle \int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx=}-\int\limits_{b}^{a}{f\left( x \right)dx=}.

 

 


qese plastike


 

Ushtrime të zgjidhura

Ushtrimi 1

Të njehsohen integralet e caktuara:

a) \displaystyle \int\limits_{0}^{2}{\frac{xdx}{{{x}^{2}}+4}}

b) \displaystyle \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\left( \cos 2x-\sin 4x \right)}dx

 

Zgjidhje

a) \displaystyle \int\limits_{0}^{2}{\frac{xdx}{{{x}^{2}}+4}}

\displaystyle \int\limits_{0}^{2}{\frac{xdx}{{{x}^{2}}+4}}=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{2}{\frac{d\left( {{x}^{2}}+4 \right)}{{{x}^{2}}+4}}

\displaystyle =\left( \frac{1}{2}\ln |{{x}^{2}}+4| \right)|_{0}^{2}

\displaystyle =\left( \frac{1}{2}\ln |8| \right)-\left( \frac{1}{2}\ln |4| \right)

\displaystyle =\frac{1}{2}\ln |2|

 

b)  \displaystyle \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\left( \cos 2x-\sin 4x \right)}dx

 \displaystyle \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\left( \cos 2x-\sin 4x \right)}dx=

 \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\cos 2xdx-\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\sin 4xdx}}

 \displaystyle =\frac{1}{2}\sin 2x|_{0}^{\frac{\pi }{2}}+\frac{1}{4}\cos 4x|_{0}^{\frac{\pi }{2}}

 \displaystyle =\left( \frac{1}{2}\sin \pi -\frac{1}{2}\sin 0 \right)+

+ \left( \frac{1}{4}\cos 2\pi -\frac{1}{4}\cos 0 \right)

 \displaystyle =\left( 0-0 \right)+\left( \frac{1}{4}\,-\frac{1}{4} \right)=0.

 

 

 

Ushtrimi 2

Të njehsohen integralet e caktuara:

a) \displaystyle \int\limits_{0}^{1}{\left( 2x+3 \right)dx}

b) \displaystyle \int\limits_{0}^{2}{{{\left( 2x-4 \right)}^{2}}dx}

c) \displaystyle \int\limits_{1}^{2}{\frac{dx}{{{x}^{2}}}}

d) \displaystyle \int\limits_{2}^{3}{\frac{xdx}{3{{x}^{2}}-11}}

 

Zgjidhje

a) \displaystyle \int\limits_{0}^{1}{\left( 2x+3 \right)dx}

\displaystyle \int\limits_{0}^{1}{\left( 2x+3 \right)dx}=2\int\limits_{0}^{1}{xdx}+3\int\limits_{0}^{1}{dx}

\displaystyle =\left( 2\frac{{{x}^{2}}}{2}+3x \right)|_{0}^{1}

\displaystyle =\left( 1+3 \right)-\left( 0+0 \right)=4

 

b) \displaystyle \int\limits_{0}^{2}{{{\left( 2x-4 \right)}^{2}}dx}

\displaystyle \int\limits_{0}^{2}{{{\left( 2x-4 \right)}^{2}}dx}=\int\limits_{0}^{2}{\left( 4{{x}^{2}}-16x+16 \right)dx}

\displaystyle 4\int\limits_{0}^{2}{\left( {{x}^{2}}-4x+4 \right)dx}

\displaystyle =4\left( \frac{{{x}^{3}}}{3}-4\frac{{{x}^{2}}}{2}+4x \right)_{0}^{2}

\displaystyle =4\left( \frac{8}{3}-8+8 \right)-4\cdot 0

\displaystyle =\frac{32}{3}

 

 

c) \displaystyle \int\limits_{1}^{2}{\frac{dx}{{{x}^{2}}}}

\displaystyle \int\limits_{1}^{2}{\frac{dx}{{{x}^{2}}}}=-\frac{1}{x}|_{1}^{2}

\displaystyle =-\frac{1}{2}+1=\frac{1}{2}

 

d) \displaystyle \int\limits_{2}^{3}{\frac{xdx}{3{{x}^{2}}-11}}

\displaystyle \int\limits_{2}^{3}{\frac{xdx}{3{{x}^{2}}-11}}=\frac{1}{6}\int\limits_{2}^{3}{\frac{d\left( 3{{x}^{2}}-11 \right)}{3{{x}^{2}}-11}}

\displaystyle =\frac{1}{6}\ln |3{{x}^{2}}-11|_{2}^{3}

\displaystyle =\frac{1}{6}\ln |16|-\frac{1}{6}\ln |1|=\frac{1}{6}\ln |16|

qese plastike

Copyright © detyra.al
Postime te ngjashme:
  • PesekendeshatPesekendeshat
  • Matematika BazeMatematika Baze
  • Matematika 8Matematika 8
  • Matematika 12Matematika 12
  • Matematika 10Matematika 10
  • Integrimi me thyesa te pjeseshmeIntegrimi me thyesa te pjeseshme
  • Matematika 9Matematika 9
  • Matematika 6Matematika 6
  • Numrat NatyroreNumrat Natyrore
  • MatematikaMatematika
  • Matematika 11Matematika 11
  • Provimi i lirimitProvimi i lirimit
  • Thyesat AlgjebrikeThyesat Algjebrike
  • Numrat e ThjeshteNumrat e Thjeshte
  • Derivative of sin^2(x)Derivative of sin^2(x)
  • Formulat e VietesFormulat e Vietes
Integrali i caktuarkufiri i poshtëm i integrimitkufiri i sipërm i integrimitPërkufizimi i integralit të caktuarVeti të integralit të caktuar

Kerko Mesime

Pages

  • Fizika
    • Fizika 7
  • Kimia
    • Kimia 8
    • Kimia 9
  • Kontakt
  • Kreu
  • Matura dhe provimi i lirimit

Sponcor Ju-Ar Plast Sh.P.K

Ju-Ar Plast Sh.P.K

Postime te ngjashme:

  • Matematika 8
  • Matematika Baze
  • Matematika 11
  • Provimi i lirimit
  • Matematika 7
  • Matematika 12
  • Matematika 9
  • Matematika 10
  • Matematika 6
  • Matematika

qese plastike

Ju-Ar Plast Sh.P.K

Na kontaktoni

Detyra.al është një platformë eduktaive online e cila vjen në ndihmë të nxënësve të klasave të 6-12 me leksione, ushtrime dhe teza provimesh.

Email: info@detyra.al