Funksionet trigonometrike te dyfishit te kendit

Funksionet trigonometrike te dyfishit te kendit

Për çdo $\displaystyle x\in R$ kemi:

$\displaystyle \sin 2x=2\sin x\cdot \cos x$

$\displaystyle \cos 2x={{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x$

Vërtetim. Në formulën $\displaystyle \sin \left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)=\sin {{x}_{1}}\cdot \cos {{x}_{2}}+\cos {{x}_{1}}\cdot \sin {{x}_{2}}$ , zëvëndësojmë $\displaystyle {{x}_{1}}=x$ dhe $\displaystyle {{x}_{2}}=x$ .

Do të marrim $\displaystyle \sin \left( x+x \right)=\sin x\cdot \cos x+\cos x\cdot \sin x$ , domethënë $\displaystyle \sin 2x=2\cdot \sin x\cdot \cos x$ .

Në formulën $\displaystyle \cos \left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)=\cos {{x}_{1}}\cdot \cos {{x}_{2}}-\sin {{x}_{1}}\cdot \sin {{x}_{2}}$ , zëvëndësojmë $\displaystyle {{x}_{1}}=x$ dhe $\displaystyle {{x}_{2}}=x$ .

Do të marrim $\displaystyle \cos \left( x+x \right)=\cos x\cdot \cos x-\sin x\cdot \sin x$ , pra $\displaystyle \cos 2x={{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x$ .

Shembull 1

Cila është vlera më e madhe e funksionit $\displaystyle \cos 2x={{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x$ ?

Zgjidhje

Nga formula, dimë që $\displaystyle 2\sin x\cdot \cos x=\sin 2x$ .

Kërkohet vlera më e madhe e funksionit $\displaystyle y=\sin 2x$ .

Pra, vlera më e madhe e dyfishit të këndit.

Për çdo $\displaystyle x\in R$ , kemi $\displaystyle -1\le \sin 2x\le 1$ .

Vlera më e madhe e funksionit është 1.

Ajo arrihet për vlerat e x-it që plotësojnë barazimin $\displaystyle \sin 2x=1$ .

Pra, $\displaystyle 2x=k\cdot 2~\pi +\frac{~\pi }{2}$

$\displaystyle x=k~\pi +\frac{~\pi }{4}$ .

Rrjedhime te funksioneve trigonometrike te dyfishit te kendit

Në formulën $\displaystyle {{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x=\cos 2x$ , zëvëndësojmë $\displaystyle {{\cos }^{2}}x$ me $\displaystyle 1-{{\sin }^{2}}x$ dhe do të marrim:

$\displaystyle \left( 1-{{\sin }^{2}}x \right)-{{\sin }^{2}}x=\cos 2x$

$\displaystyle 1-2{{\sin }^{2}}x=\cos 2x$

Që këtu del $\displaystyle {{\sin }^{2}}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$

Po të zëvëndësonim në identitetin $\displaystyle {{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x=\cos 2x$ , $\displaystyle {{\sin }^{2}}x=1-{{\cos }^{2}}x$ , do të merrnim: