Detyra.Al Detyra.Al

  • Kreu
  • Matematika
    • Matematika 6
    • Matematika 7
    • Matematika 8
    • Matematika 9
    • Matematika 10
    • Matematika 11
    • Matematika 12
  • Fizika
  • Matematika Baze
  • Matura dhe provimi i lirimit
  • Kimia
    • Kimia 8
    • Kimia 9
Home / Funksionet trigonometrike te dyfishit te kendit

Funksionet trigonometrike te dyfishit te kendit

funksionet trigonometrike te dyfishit te kendit

Funksionet trigonometrike te dyfishit te kendit

Për çdo \displaystyle x\in R kemi:

\displaystyle \sin 2x=2\sin x\cdot \cos x

\displaystyle \cos 2x={{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x

qese plastike

 

Vërtetim. Në formulën \displaystyle \sin \left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)=\sin {{x}_{1}}\cdot \cos {{x}_{2}}+\cos {{x}_{1}}\cdot \sin {{x}_{2}}, zëvëndësojmë \displaystyle {{x}_{1}}=x dhe \displaystyle {{x}_{2}}=x.

Do të marrim \displaystyle \sin \left( x+x \right)=\sin x\cdot \cos x+\cos x\cdot \sin x, domethënë \displaystyle \sin 2x=2\cdot \sin x\cdot \cos x.

 

Në formulën \displaystyle \cos \left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)=\cos {{x}_{1}}\cdot \cos {{x}_{2}}-\sin {{x}_{1}}\cdot \sin {{x}_{2}}, zëvëndësojmë \displaystyle {{x}_{1}}=x dhe \displaystyle {{x}_{2}}=x.

Do të marrim \displaystyle \cos \left( x+x \right)=\cos x\cdot \cos x-\sin x\cdot \sin x, pra \displaystyle \cos 2x={{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x.

 

 

 

Shembull 1

Cila është vlera më e madhe e funksionit \displaystyle \cos 2x={{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x?

 

Zgjidhje

Nga formula, dimë që \displaystyle 2\sin x\cdot \cos x=\sin 2x.

Kërkohet vlera më e madhe e funksionit \displaystyle y=\sin 2x.

Pra, vlera më e madhe e dyfishit të këndit.

Për çdo \displaystyle x\in R, kemi \displaystyle -1\le \sin 2x\le 1.

Vlera më e madhe e funksionit është 1.

Ajo arrihet për vlerat e x-it që plotësojnë barazimin \displaystyle \sin 2x=1.

Pra, \displaystyle 2x=k\cdot 2~\pi +\frac{~\pi }{2}

\displaystyle x=k~\pi +\frac{~\pi }{4}.

 

 

qese plastike


 

 

Rrjedhime te funksioneve trigonometrike te dyfishit te kendit

  1. Në formulën \displaystyle {{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x=\cos 2x, zëvëndësojmë \displaystyle {{\cos }^{2}}x me \displaystyle 1-{{\sin }^{2}}x dhe do të marrim:

\displaystyle \left( 1-{{\sin }^{2}}x \right)-{{\sin }^{2}}x=\cos 2x

\displaystyle 1-2{{\sin }^{2}}x=\cos 2x

Që këtu del \displaystyle {{\sin }^{2}}x=\frac{1-\cos 2x}{2}

 

  1. Po të zëvëndësonim në identitetin \displaystyle {{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x=\cos 2x, \displaystyle {{\sin }^{2}}x=1-{{\cos }^{2}}x, do të merrnim:

\displaystyle {{\cos }^{2}}x-\left( 1-{{\cos }^{2}}x \right)=\cos 2x

\displaystyle 2{{\cos }^{2}}x-1=\cos 2x

Që këtu del:

\displaystyle {{\cos }^{2}}x=\frac{1+\cos 2x}{2}.

 

  1. \displaystyle tg2x=\frac{2tgx}{1-t{{g}^{2}}x}

 

  1. Nëse në formulat për sin2x dhe cos2x, zëvëndësojmë x me \displaystyle \frac{x}{2}, do të marrim:

\displaystyle \sin x=2\sin \frac{x}{2}\cdot \cos \frac{x}{2}

\displaystyle \cos x={{\cos }^{2}}\frac{x}{2}-{{\sin }^{2}}\frac{x}{2}.

 

 

Ushtrimi 1

Zgjidhni ekuacionin \displaystyle {{\left( \cos x-\sin x \right)}^{2}}=1

 

Zgjidhje

Në fillim zbërthejmë katrorin e binomit:

\displaystyle {{\cos }^{2}}x-2\sin x\cdot \cos x+{{\sin }^{2}}x=1

Nga vetia themelore e trigonometric dimë që \displaystyle {{\cos }^{2}}x+{{\sin }^{2}}x=1.

Do të kemi:

\displaystyle 1-2\sin x\cdot \cos x=1.

Dimë që \displaystyle 2\sin x\cdot \cos x=\sin 2x. Do të kemi:

\displaystyle 1-\sin 2x=1

\displaystyle \sin 2x=0.

Me tabelë shohim që 2 kënde që e kanë sinusin zero janë π dhe 2π. Shkruajmë:

\displaystyle 2x=k\pi +\pi ose \displaystyle 2x=k\pi +2\pi

\displaystyle x=k\pi +\frac{\pi }{2} ose \displaystyle x=k\pi +\pi.

 

 

 

 

Kthimi ne prodhim i shumes se dy sinuseve ose kosinuseve

Teorema 1: Për çdo vlerë të \displaystyle a,b\in R, ka vend barazimi:

\displaystyle \cos a+\cos b=2\cos \frac{a+b}{2}\cdot \cos \frac{a-b}{2}.

 

Teorema 2: Për çdo vlerë të \displaystyle a,b\in R, ka vend barazimi:

\displaystyle \cos a-\cos b=-2\sin \frac{a+b}{2}\cdot \sin \frac{a-b}{2}

qese plastike

Copyright © detyra.al
funksionet trigonometrikeFunksionet trigonometrike te dyfishitFunksionet trigonometrike te dyfishit te kenditrrjedhime

Kerko Mesime

Pages

  • Fizika
    • Fizika 7
  • Kimia
    • Kimia 8
    • Kimia 9
  • Kontakt
  • Kreu
  • Matura dhe provimi i lirimit

Sponcor Ju-Ar Plast Sh.P.K

Ju-Ar Plast Sh.P.K

Postime te ngjashme:

qese plastike

Ju-Ar Plast Sh.P.K

Na kontaktoni

Detyra.al është një platformë eduktaive online e cila vjen në ndihmë të nxënësve të klasave të 6-12 me leksione, ushtrime dhe teza provimesh.

Email: info@detyra.al