Rregullat e derivimit . Funksionet e derivueshem

Teorema 1: Në qoftë se f,g janë dy funksione të derivueshme në një interval I, atëherë edhe shuma e tyre s=f+g është një funksion i derivueshem në intervalin I dhe për çdo $\displaystyle x\in I$ kemi:

$\displaystyle s'\left( x \right)=f'\left( x \right)+g'\left( x \right)$ .

Shkurt shkruajmë $\displaystyle \left( f+g \right)'=f'+g'$ , për çdo $\displaystyle x\in I$ .

Keshille! Per shembuj te zgjidhur shikoni Ushtrime te zgjidhura – Derivate

Shembulli 1

a) Gjeni bashkësitë ku është i derivueshëm funksioni $\displaystyle y=\frac{1}{x}+{{x}^{3}}$

b) Gjeni derivatin e këtij funksioni në pikën x dhe në pikën 2.

Zgjidhje

a) E shkruajmë funksionin y si shumë 2 funksionesh:

$\displaystyle f\left( x \right)=\frac{1}{x}$

$\displaystyle g\left( x \right)={{x}^{3}}$ .

Gjejmë bashkësitë e përcaktimit të dy funksioneve:

$\displaystyle f\left( x \right)=\frac{1}{x}$ , për çdo $\displaystyle x\ne 0$ .

$\displaystyle g\left( x \right)={{x}^{3}}$ , për çdo $\displaystyle x\in R$ .

Për të gjetur bashkësinë e përcaktimit të shumës së funksioneve mjafton të gjejmë prerjen e bashkësive dhe do të kemi:

$\displaystyle y=\left( f+g \right)\left( x \right)=\frac{1}{x}+{{x}^{3}}$ , për çdo $\displaystyle x\ne 0$ .

Në bazë të teoremës do të kemi që funksioni është i derivueshem në bashkësinë $\displaystyle A=\left\{ x\in R/x\ne 0 \right\}$ .

b) Për të gjetur derivatin e funksionit të shumës mjafton të gjejmë shumën e derivative, bazuar tek teorema më sipër:

$\displaystyle \left( f+g \right)'=f'+g'$

$\displaystyle f'=\left( \frac{1}{x} \right)'=-\frac{1}{{{x}^{2}}}$ , për çdo $\displaystyle x\ne 0$ .

$\displaystyle g'=\left( {{x}^{3}} \right)'=3{{x}^{2}}$ .

(për gjetjen e derivateve më sipër zbatuam teoremat për gjetjen e derivateve të funksioneve të thjeshta).

$\displaystyle \left( f+g \right)'=-\frac{1}{{{x}^{2}}}+3{{x}^{2}}$ , për çdo $\displaystyle x\ne 0$ .

Gjejmë derivatin në pikën $\displaystyle x=2$ :

$\displaystyle \left( f+g \right)'\left( 2 \right)=-\frac{1}{{{2}^{2}}}+3\cdot {{2}^{2}}$

$\displaystyle \left( f+g \right)'\left( 2 \right)=-\frac{1}{4}+12=\frac{47}{4}$ .

Teorema 2: Në qoftë se f,g janë dy funksione të derivueshme në një interval I, atëherë edhe prodhimi i tyre p=f∙g është i derivueshem në I dhe për çdo $\displaystyle x\in I$ kemi:

$\displaystyle {p}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)\cdot g\left( x \right)+f\left( x \right)\cdot g'\left( x \right)$ .

Shkurt shkruajmë $\displaystyle {p}'={f}'\cdot {g}'+f\cdot {g}'$ .

Keshille! Per shembuj te zgjidhur shikoni Ushtrime te zgjidhura – Derivate

Shembulli 2

Gjeni derivation e funksionit $\displaystyle y=\left( {{x}^{2}}+2x \right)\cdot \left( 3x-5 \right)$ në pikën x dhe në pikën 0.

Zgjidhje

Bashkësia e përcaktimit të prodhimit është $\displaystyle x\in R$ , ndaj funksioni është i derivueshem në R.

Për të gjetur derivatin e prodhimit, zbatojmë teoremën 2, duke e ndar funksionin në dy funksione.

Të dy funksionet e ndara janë funksione të thjeshta. Do të kemi:

$\displaystyle f\left( x \right)={{x}^{2}}+2x$ , për çdo $\displaystyle x\in R$

$\displaystyle g\left( x \right)=3x-5$ , për çdo $\displaystyle x\in R$ .

Gjejmë derivatet:

$\displaystyle f'\left( x \right)=2x+2$

$\displaystyle g'\left( x \right)=3$

$\displaystyle {p}'={f}'\cdot {g}'+f\cdot {g}'$

$\displaystyle {p}'=\left( 2x+2 \right)\cdot \left( 3x-5 \right)+\left( {{x}^{2}}+2x \right)\cdot 3$

$\displaystyle {p}'=6{{x}^{2}}-10x+6x-10+3{{x}^{2}}+6x$

$\displaystyle {p}'=9{{x}^{2}}+2x-10$

Gjejmë derivatin e funksionit në pikën x=0

$\displaystyle {p}'\left( 0 \right)=9\cdot {{0}^{2}}+2\cdot 0-10$

$\displaystyle {p}'\left( 0 \right)=-10$

Rrjedhime të teoremës 2

Rrjedhim 1: Nëse funksioni f është i derivueshem në intervalin I dhe c është një konstante, atëherë funksioni c∙f është i derivueshem në intervalin I dhe $\displaystyle \left( c\cdot f \right)'=c\cdot f'$ .

Rrjedhim 2: Nëse f është funksion i derivueshem në intervalin I dhe $\displaystyle n\in N$ , atëherë $\displaystyle {{f}^{n}}$ është funksion i derivueshem në intervalin I dhe derivati i tij është $\displaystyle \left( {{f}^{n}} \right)'=n\cdot {{f}^{n-1}}\cdot f'$ .

Keshille! Per shembuj te zgjidhur shikoni Ushtrime te zgjidhura – Derivate

Derivati i raportit

Teoremë: Nëse funksionet f,g janë të derivueshme në intervalin I dhe për çdo $\displaystyle x\in I$ kemi $\displaystyle g\left( x \right)\ne 0$ , atëherë funksioni $\displaystyle \frac{f}{g}$ është i derivueshem në I dhe $\displaystyle \left( \frac{f}{g} \right)'=\frac{f'\cdot g-f\cdot g'}{{{g}^{2}}}$ .

Shembulli 3

Gjeni derivatin e funksionit $\displaystyle y=\frac{x}{{{x}^{2}}-1}$ në pikën x dhe në pikën x=2.

Zgjidhje

Në fillim gjejmë bashkësinë e përcaktimit të funksionit:

$\displaystyle {{x}^{2}}-1\ne 0$

$\displaystyle x\ne 1$ dhe $\displaystyle x\ne -1$

Për të gjetur derivatin në pikën x zbatojmë teoremën:

$\displaystyle \left( \frac{f}{g} \right)'=\frac{f'\cdot g-f\cdot g'}{{{g}^{2}}}$

$\displaystyle \left( \frac{x}{{{x}^{2}}-1} \right)'=\frac{x'\cdot \left( {{x}^{2}}-1 \right)-x\cdot \left( {{x}^{2}}-1 \right)'}{{{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{2}}}$

$\displaystyle \left( \frac{x}{{{x}^{2}}-1} \right)'=\frac{{{x}^{2}}-1-x\cdot 2x}{{{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{2}}}$

$\displaystyle \left( \frac{x}{{{x}^{2}}-1} \right)'=\frac{{{x}^{2}}-1-2{{x}^{2}}}{{{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{2}}}=\frac{1-{{x}^{2}}}{{{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{2}}}$

Gjejmë derivatin e funksionit në pikën x=2

$\displaystyle \left( \frac{f}{g} \right)'\left( 2 \right)=\frac{1-{{2}^{2}}}{{{\left( {{2}^{2}}-1 \right)}^{2}}}=\frac{-3}{9}=-\frac{1}{3}$ .

Keshille! Per shembuj te zgjidhur shikoni Ushtrime te zgjidhura – Derivate

Zgjidhje

Teorema 2: Në qoftë se f,g janë dy funksione të derivueshme në një interval I, atëherë edhe prodhimi i tyre p=f∙g është i derivueshem në I dhe për çdo kemi:

Keshille! Per shembuj te zgjidhur shikoni Ushtrime te zgjidhura – Derivate

Zgjidhje

Rrjedhime të teoremës 2

Keshille! Per shembuj te zgjidhur shikoni Ushtrime te zgjidhura – Derivate

Derivati i raportit

Shembulli 3

Zgjidhje

Keshille! Per shembuj te zgjidhur shikoni Ushtrime te zgjidhura – Derivate

Teorema 2: Në qoftë se f,g janë dy funksione të derivueshme në një interval I, atëherë edhe prodhimi i tyre p=f∙g është i derivueshem në I dhe për çdo $\displaystyle x\in I$ kemi: