Detyra.Al Detyra.Al

  • Kreu
  • Matematika
    • Matematika 6
    • Matematika 7
    • Matematika 8
    • Matematika 9
    • Matematika 10
    • Matematika 11
    • Matematika 12
  • Fizika
  • Matematika Baze
  • Matura dhe provimi i lirimit
  • Kimia
    • Kimia 8
    • Kimia 9
Home / Ekuacioni i tangjentes se hiperboles dhe paraboles

Ekuacioni i tangjentes se hiperboles dhe paraboles

hiperboles

Ekuacioni i tangjentes ne nje pike te hiperboles

Jepet hiperbola me ekuacion \displaystyle \frac{{{x}^{2}}}{a}-\frac{{{y}^{2}}}{b}=1.

Ekuacioni i tangjentes me hiperbolën në pikën \displaystyle {{M}_{1}} ka trajtën \displaystyle y-{{y}_{1}}=k\left( x-{{x}_{1}} \right) ku k është koeficienti këndor i tangjentes.

qese plastike

Nga kuptimi gjeometrik i derivatit dimë që \displaystyle k=y'\left( {{x}_{1}} \right).

Nga ekuacioni i hiperboles kemi:

\displaystyle {{y}^{2}}=\frac{{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}}{{x}^{2}}-{{b}^{2}}.

Duke derivuar të dyja anët në lidhje me x, kemi:

\displaystyle 2y\cdot y'=2\frac{{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}}x

\displaystyle y\cdot y'=\frac{{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}}x

\displaystyle y\cdot y'=\frac{{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}}\cdot \frac{x}{y}

\displaystyle y'\left( {{x}_{1}} \right)=k=\frac{{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}}\cdot \frac{x}{y}

Duke zëvëndësuar k tek ekuacioni i tangjentes, do të kemi:

\displaystyle y-{{y}_{1}}=\frac{{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}}\cdot \frac{x}{y}\left( x-{{x}_{1}} \right)

Duke kryer veprime të njëvlerëshme, do të arrijmë në përfundimin që ekuacioni i tangjentes është:

\displaystyle \frac{x{{x}_{1}}}{{{a}^{2}}}-\frac{y{{y}_{1}}}{{{b}^{2}}}=1.

 

 

 


 

Shembulli 1

Të shkruhet ekuacioni i tangjentes së hiperboles \displaystyle \frac{{{x}^{2}}}{16}-\frac{{{y}^{2}}}{4}=1 e cila kalon nga pika \displaystyle M\left( -5,\frac{3}{2} \right).

 

Zgjidhje

Duke zëvëndësuar koordinatat e pikës M tek ekuacioni i tangjentes do të kemi:

\displaystyle \frac{-5x}{16}-\frac{\frac{3}{2}y}{4}=1

\displaystyle \frac{-5x}{16}-\frac{3y}{8}=1

\displaystyle -5x-6y=16

\displaystyle 5x+6y+16=0

Përgjigje: Ekuacioni i tangjentes me hiperbolën \displaystyle \frac{{{x}^{2}}}{16}-\frac{{{y}^{2}}}{4}=1 e cila kalon nga pika \displaystyle M\left( -5,\frac{3}{2} \right) është \displaystyle 5x+6y+16=0

 

 

 

 

 

 

Ekuacioni i tangjentes ne nje pike te paraboles

Jepet parabola me ekuacion \displaystyle {{y}^{2}}=2px dhe pika \displaystyle M\left( x,y \right).

Ekuacioni i tangjentes me parabolën në pikën \displaystyle {{M}_{1}} ka trajtën \displaystyle y-{{y}_{1}}=k\left( x-{{x}_{1}} \right) ku k është koeficienti këndor i tangjentes.

Nga kuptimi gjeometrik i derivatit dimë që \displaystyle k=y'\left( {{x}_{1}} \right).

Në ekuacionin e parabolës \displaystyle {{y}^{2}}=2px derivojmë të dyja anët në lidhje me x. Do të kemi:

qese plastike

\displaystyle 2yy'=2p

\displaystyle yy'=p

\displaystyle y'=\frac{p}{y}.

Koeficienti këndor i tangjentës është \displaystyle y'=\frac{p}{{{y}_{1}}}

Ekuacioni i tangjentes në pikën \displaystyle {{M}_{1}} është:

\displaystyle y-{{y}_{\grave{\ }1}}=\frac{p}{{{y}_{1}}}\left( x-{{x}_{1}} \right)

\displaystyle y{{y}_{\grave{\ }1}}-{{\left( {{y}_{\grave{\ }1}} \right)}^{2}}=p\left( x-{{x}_{1}} \right)

\displaystyle y{{y}_{\overset{\grave{\ }}{\mathop{\ }}\,1}}=px-p{{x}_{1}}+{{\left( {{y}_{\overset{\grave{\ }}{\mathop{\ }}\,1}} \right)}^{2}}

 

Meqë pika \displaystyle {{M}_{1}}\left( {{x}_{1}},{{y}_{1}} \right) ndodhet në në parabolë, kemi \displaystyle y_{1}^{2}=2p{{x}_{1}}. Duke zëvëndësuar në barazimin më sipër do të kemi:

\displaystyle y{{y}_{\grave{\ }1}}=px-p{{x}_{1}}+2p{{x}_{1}}

\displaystyle y{{y}_{\grave{\ }1}}=p\left( x+{{x}_{1}} \right). Ky është ekuacioni i tangjentës në një pikë të parabolës.

 

 

 

Shembulli 2

Të shkruhet ekuacioni i tangjentes me parabolën \displaystyle {{y}^{2}}=8x dhe \displaystyle M\left( 2,-4 \right).

 

Zgjidhje

Sipas formulës, ekuacioni i tangjentes është \displaystyle y{{y}_{1}}=p\left( x+{{x}_{1}} \right).

Duke zëvëndësuar pikën M në formulë do të kemi:

\displaystyle -4y=4\left( x+2 \right)

\displaystyle 4x+4y+8=0

\displaystyle x+y+2=0.

 

Përgjigje: Ekuacioni i tangjentes me parabolën \displaystyle {{y}^{2}}=8x dhe pikën \displaystyle M\left( 2,-4 \right) është \displaystyle \begin{array}{l}-4y=4\left( x+2 \right)\\x+y+2=0\end{array}.

qese plastike

Copyright © detyra.al
Postime te ngjashme:
  • Matematika 12Matematika 12
  • Matematika 9Matematika 9
  • Integrimi me thyesa te pjeseshmeIntegrimi me thyesa te pjeseshme
  • Matematika 10Matematika 10
  • MatematikaMatematika
  • Matematika 11Matematika 11
  • Numrat e ThjeshteNumrat e Thjeshte
  • Thyesat AlgjebrikeThyesat Algjebrike
  • Derivative of sin^2(x)Derivative of sin^2(x)
  • Provimi i lirimitProvimi i lirimit
  • Matematika 8Matematika 8
  • PesekendeshatPesekendeshat
  • Numrat NatyroreNumrat Natyrore
  • Matematika BazeMatematika Baze
  • Formulat e VietesFormulat e Vietes
  • Matematika 7Matematika 7
Ekuacioni i tangjentes ne nje pike te hiperbolesEkuacioni i tangjentes ne nje pike te parabolesEkuacioni i tangjentes se hiperboles dhe paraboleshiperbolaparabolaushtrime te zgjidhura matematike

Kerko Mesime

Pages

  • Fizika
    • Fizika 7
  • Kimia
    • Kimia 8
    • Kimia 9
  • Kontakt
  • Kreu
  • Matura dhe provimi i lirimit

Sponcor Ju-Ar Plast Sh.P.K

Ju-Ar Plast Sh.P.K

Postime te ngjashme:

  • Matematika Baze
  • Matematika 9
  • Matematika 8
  • Matematika 6
  • Matematika
  • Matematika 7
  • Matematika 10
  • Matematika 11
  • Matematika 12
  • Provimi i lirimit

qese plastike

Ju-Ar Plast Sh.P.K

Na kontaktoni

Detyra.al është një platformë eduktaive online e cila vjen në ndihmë të nxënësve të klasave të 6-12 me leksione, ushtrime dhe teza provimesh.

Email: info@detyra.al