Dispozicionet . Numri i dispozicioneve | Matematika

Numri i dispozicioneve

Përkufizim: “Dispozicion me k elemente nga bashkësia A quhet çdo sistem i radhitur i k prej elementeve të kësaj bashkësie”.

Shembull 1

Jepen numrat 1, 2, 3, 4, 5. Sa numra formohen katërshifror formohen me këto shifra?

a) Me përsëritjen e tyre

b) Pa përsëritjen e tyre.

Zgjidhje

a) Në çdo kuti mund të vendoset secila nga të pësta shifrat e dhëna.

Gjithsej janë $\displaystyle {{5}^{4}}=625$ numra.

b) Në këtë rast kemi dispozicione me 4 elemente nga bashkësia me 5 elemente.

Në kutinë e parë mund të vendoset secila prej shifrave të dhëna. Pas kësaj në kutinë e dytë mund të vendoset secila nga 4 shifrat e mbetura. Në kutinë e tretë mund të vendoset secila prej 3 shifrave të mbetura dhe në kutinë e katërt secila prej 2 shifrave të mbetura. Në kutinë e fundit do të kemi vetëm shifrën e fundit të mbetur. Kemi:

Gjithsej janë $\displaystyle 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=120$ numra.

Formula për gjetjen e numrit të dispozicioneve është:

$\displaystyle {{D}_{n,k}}=\frac{n!}{\left( n-k \right)!}$

Nga kjo formulë vëmë re që numri i elementeve që shumëzohen është k.

Ushtrimi 1

Gjeni:

a) $\displaystyle {{D}_{5,3}}$

b) $\displaystyle {{D}_{7,4}}$

c) $\displaystyle {{D}_{10,6}}$

d) $\displaystyle {{D}_{9,3}}$

Zgjidhje

a) $\displaystyle {{D}_{5,3}}=\frac{5!}{\left( 5-3 \right)!}=\frac{5!}{2!}=60$

b) $\displaystyle {{D}_{7,4}}=\frac{7!}{\left( 7-4 \right)!}=\frac{7!}{3!}$

$\displaystyle =\frac{3!\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7}{3!}$

$\displaystyle =4\cdot 5\cdot 6\cdot 7=840$

c) $\displaystyle {{D}_{10,6}}=\frac{10!}{\left( 10-6 \right)!}=\frac{10!}{4!}$

$\displaystyle =\frac{4!\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot 10}{4!}$

$\displaystyle =5\cdot 6\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot 10=151200$

d) $\displaystyle {{D}_{9,3}}=\frac{9!}{\left( 9-3 \right)!}=\frac{9!}{6!}$

$\displaystyle =\frac{6!\cdot 7\cdot 8\cdot 9}{6!}$

$\displaystyle =7\cdot 8\cdot 9=504$

Ushtrimi 2

Sa numra telefoni formohen me numrat 2, 3, 5, 9?

Zgjidhje

Për të gjetur sa numra telefoni formohen me këto 4 numra, përdorim formulën për gjetjen e numrit të dispozicioneve:

$\displaystyle {{D}_{n,k}}=\frac{n!}{\left( n-k \right)!}$ .

Kujtojmë që numri i telefonit ka 10 shifra, ndaj shkruajmë:

$\displaystyle {{D}_{10,4}}=\frac{10!}{\left( 10-4 \right)!}=\frac{10!}{6!}$

$\displaystyle =7\cdot 8\cdot 9\cdot 10=5040$ numra telefoni formohen me katër numra të dhënë.

Ushtrimi 3

Jepen shkronjat L, I, B, Ë, R.

a) Sa fjalë me tri shkronja formohen me to?

b) Sa prej tyre fillojnë me L?

c) Sa prej tyre mbarojnë me Ë?

d) Sa prej tyre fillojnë me L dhe mbarojnë me Ë?

Zgjidhje

a) Për të gjetur sa fjalë formohen me tri shkronja nga shkronjat e dhëna zbatojmë formulën:

$\displaystyle {{D}_{5,3}}=\frac{5!}{\left( 5-3 \right)!}=\frac{5!}{2!}$

$\displaystyle =\frac{120}{2}=60$ fjalë formohen me tri shkronja me këto shkronja të dhëna.

b) Meqënëse fjalët fillojnë me një shkronjë të caktuar, atëherë mundësitë për të vendosur një shkronjë në kutinë e parë janë 1, ndaj e trajtojmë si një fjalë me 4 shkronja me të cilat formojmë fjalë me 2 shkronja. Kemi:

$\displaystyle {{D}_{4,2}}=\frac{4!}{\left( 4-2 \right)!}=\frac{4!}{2!}$

$\displaystyle =\frac{24}{2}=12$ fjalë fillojnë me shkronjën L.

c) E njëjta logjikë vlen dhe për këtë rast. Shkruajmë:

$\displaystyle {{D}_{4,2}}=\frac{4!}{\left( 4-2 \right)!}=\frac{4!}{2!}$

$\displaystyle =\frac{24}{2}=12$ fjalë mbarojnë më shkronjën Ë.

d) Meqë 2 vendet i kemi të zëna, shkruajmë:

$\displaystyle {{D}_{3,3}}=\frac{3!}{\left( 3-3 \right)!}=\frac{3!}{0!}=\frac{6}{1}=6$ (Dimë që 0! është i barabartë me 1).