Ekuacioni i tangjentes se hiperboles dhe paraboles

Ekuacioni i tangjentes ne nje pike te hiperboles

Jepet hiperbola me ekuacion $\displaystyle \frac{{{x}^{2}}}{a}-\frac{{{y}^{2}}}{b}=1$ .

Ekuacioni i tangjentes me hiperbolën në pikën $\displaystyle {{M}_{1}}$ ka trajtën $\displaystyle y-{{y}_{1}}=k\left( x-{{x}_{1}} \right)$ ku k është koeficienti këndor i tangjentes.

Nga kuptimi gjeometrik i derivatit dimë që $\displaystyle k=y'\left( {{x}_{1}} \right)$ .

Nga ekuacioni i hiperboles kemi:

$\displaystyle {{y}^{2}}=\frac{{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}}{{x}^{2}}-{{b}^{2}}$ .

Duke derivuar të dyja anët në lidhje me x, kemi:

$\displaystyle 2y\cdot y'=2\frac{{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}}x$

$\displaystyle y\cdot y'=\frac{{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}}x$

$\displaystyle y\cdot y'=\frac{{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}}\cdot \frac{x}{y}$

$\displaystyle y'\left( {{x}_{1}} \right)=k=\frac{{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}}\cdot \frac{x}{y}$

Duke zëvëndësuar k tek ekuacioni i tangjentes, do të kemi:

$\displaystyle y-{{y}_{1}}=\frac{{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}}\cdot \frac{x}{y}\left( x-{{x}_{1}} \right)$

Duke kryer veprime të njëvlerëshme, do të arrijmë në përfundimin që ekuacioni i tangjentes është:

$\displaystyle \frac{x{{x}_{1}}}{{{a}^{2}}}-\frac{y{{y}_{1}}}{{{b}^{2}}}=1$ .

Shembulli 1

Të shkruhet ekuacioni i tangjentes së hiperboles $\displaystyle \frac{{{x}^{2}}}{16}-\frac{{{y}^{2}}}{4}=1$ e cila kalon nga pika $\displaystyle M\left( -5,\frac{3}{2} \right)$ .

Zgjidhje

Duke zëvëndësuar koordinatat e pikës M tek ekuacioni i tangjentes do të kemi:

$\displaystyle \frac{-5x}{16}-\frac{\frac{3}{2}y}{4}=1$

$\displaystyle \frac{-5x}{16}-\frac{3y}{8}=1$

$\displaystyle -5x-6y=16$

$\displaystyle 5x+6y+16=0$

Përgjigje: Ekuacioni i tangjentes me hiperbolën $\displaystyle \frac{{{x}^{2}}}{16}-\frac{{{y}^{2}}}{4}=1$ e cila kalon nga pika $\displaystyle M\left( -5,\frac{3}{2} \right)$ është $\displaystyle 5x+6y+16=0$

Ekuacioni i tangjentes ne nje pike te paraboles

Jepet parabola me ekuacion $\displaystyle {{y}^{2}}=2px$ dhe pika $\displaystyle M\left( x,y \right)$ .

Ekuacioni i tangjentes me parabolën në pikën $\displaystyle {{M}_{1}}$ ka trajtën $\displaystyle y-{{y}_{1}}=k\left( x-{{x}_{1}} \right)$ ku k është koeficienti këndor i tangjentes.

Nga kuptimi gjeometrik i derivatit dimë që $\displaystyle k=y'\left( {{x}_{1}} \right)$ .

Në ekuacionin e parabolës $\displaystyle {{y}^{2}}=2px$ derivojmë të dyja anët në lidhje me x. Do të kemi:

$\displaystyle 2yy'=2p$

$\displaystyle yy'=p$

$\displaystyle y'=\frac{p}{y}$ .

Koeficienti këndor i tangjentës është $\displaystyle y'=\frac{p}{{{y}_{1}}}$

Ekuacioni i tangjentes në pikën $\displaystyle {{M}_{1}}$ është:

$\displaystyle y-{{y}_{\grave{\ }1}}=\frac{p}{{{y}_{1}}}\left( x-{{x}_{1}} \right)$

$\displaystyle y{{y}_{\grave{\ }1}}-{{\left( {{y}_{\grave{\ }1}} \right)}^{2}}=p\left( x-{{x}_{1}} \right)$

$\displaystyle y{{y}_{\overset{\grave{\ }}{\mathop{\ }}\,1}}=px-p{{x}_{1}}+{{\left( {{y}_{\overset{\grave{\ }}{\mathop{\ }}\,1}} \right)}^{2}}$

Meqë pika $\displaystyle {{M}_{1}}\left( {{x}_{1}},{{y}_{1}} \right)$ ndodhet në në parabolë, kemi $\displaystyle y_{1}^{2}=2p{{x}_{1}}$ . Duke zëvëndësuar në barazimin më sipër do të kemi:

$\displaystyle y{{y}_{\grave{\ }1}}=px-p{{x}_{1}}+2p{{x}_{1}}$

$\displaystyle y{{y}_{\grave{\ }1}}=p\left( x+{{x}_{1}} \right)$ . Ky është ekuacioni i tangjentës në një pikë të parabolës.

Shembulli 2

Të shkruhet ekuacioni i tangjentes me parabolën $\displaystyle {{y}^{2}}=8x$ dhe $\displaystyle M\left( 2,-4 \right)$ .

Zgjidhje

Sipas formulës, ekuacioni i tangjentes është $\displaystyle y{{y}_{1}}=p\left( x+{{x}_{1}} \right)$ .

Duke zëvëndësuar pikën M në formulë do të kemi:

$\displaystyle -4y=4\left( x+2 \right)$

$\displaystyle 4x+4y+8=0$

$\displaystyle x+y+2=0$ .

Përgjigje: Ekuacioni i tangjentes me parabolën $\displaystyle {{y}^{2}}=8x$ dhe pikën $\displaystyle M\left( 2,-4 \right)$ është $\displaystyle \begin{array}{l}-4y=4\left( x+2 \right)\\x+y+2=0\end{array}$ .