Derivatet e disa funksioneve te thjeshta. Diferenciali i funksionit

Derivatet e disa funksioneve te thjeshta

Për të gjetur derivatet e funksioneve të thjeshta, shikojmë teoremat me radhë:

Teorema 1: “Derivati i funksionit linear $\displaystyle f:y=kx+h$ në çdo pikë $\displaystyle x\in R$ është $\displaystyle f'\left( x \right)=k$ ”.

Rast i veçantë: Për funksionin $\displaystyle f:y=x$ kemi, për çdo pikë $\displaystyle x\in R$ , $\displaystyle f'\left( x \right)=1$ .

Teorema 2: Derivati i funksionit konstant $\displaystyle f:y=h$ , në çdo pikë x është zero.

Shënohet $\displaystyle {{\left( h \right)}^{'}}=0$ .

Teorema 3: Derivati i funksionit të fuqisë së dytë $\displaystyle f:y=a{{x}^{2}}+bx+c$ në çdo pikë $\displaystyle x\in R$ është $\displaystyle f'\left( x \right)=2ax+b$ .

Shënohet $\displaystyle {{\left( a{{x}^{2}}+bx+c \right)}^{'}}=2ax+b$ .

Teorema 4: Derivati i funksionit $\displaystyle f:y={{x}^{3}}$ në çdo pikë $\displaystyle x\in R$ është $\displaystyle f'\left( x \right)=3{{x}^{2}}$ . Shënohet $\displaystyle \left( {{x}^{3}} \right)'=3{{x}^{2}}$ .

Teorema 5: Derivati i funksionit $\displaystyle f:y=\frac{1}{x}$ në çdo pikë $\displaystyle x\ne 0$ është $\displaystyle f'\left( x \right)=-\frac{1}{{{x}^{2}}}$ .

Shënohet $\displaystyle {{\left( \frac{1}{x} \right)}^{'}}=-\frac{1}{{{x}^{2}}}$ .

Teorema 6: Në çdo pikë x>0 derivati i funksionit $\displaystyle f:y=\sqrt{x}$ është $\displaystyle f'\left( x \right)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ .

Shënohet $\displaystyle {{\left( \sqrt{x} \right)}^{'}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ .

Ky funksion nuk ka derivat në pikën x=0.

Kështu, ndonëse ai ka bashkësi përcaktimi $\displaystyle \left[ 0,+\infty \right[$ ai ka derivat në çdo pikë të intervalit $\displaystyle \left] 0,+\infty \right[$ .

Keshille! Per shembuj te zgjidhur shikoni Ushtrime te zgjidhura – Derivate

Përkufizim: “Funksioni që ka derivat në çdo pikë të një intervali I quhet i derivueshëm në intervalin I”.

Vazhdueshmëria e funksionit që ka derivat. Diferenciali i funksionit

Teoremë: “Në qoftë se funksioni f është i derivueshëm në pikën a, atëherë ai është i vazhdueshëm në pikën a”.

Fjalia e anasjelltë “funksioni i vazhdueshëm në pikën a është i derivueshëm në pikën a” nuk është teoremë. Pra, nga vazhdueshmëria nuk rrjedh domosdoshmërisht derivueshmëria e funksionit.

Përkufizim: “Prodhimi $\displaystyle f'\left( a \right)\cdot h$ quhet diferencial i funksionit f në pikën a dhe shënohet me njërën nga shenjat $\displaystyle df\left( a \right)$ ose $\displaystyle dy\left( a \right)$ ”.

Pra, $\displaystyle df\left( a \right)=f'\left( a \right)\cdot h$ ose $\displaystyle dy\left( a \right)=f'\left( a \right)\cdot h$ .

Nëse f është i derivueshëm në pikën e çfarëdoshme x të intervalit I, atëherë $\displaystyle df\left( a \right)=f'\left( a \right)\cdot h$ ose $\displaystyle dy\left( a \right)=f'\left( a \right)\cdot h$ .

Keshille! Per shembuj te zgjidhur shikoni Ushtrime te zgjidhura – Derivate

Shembull 1

Të gjendet diferenciali i funksionit $\displaystyle f:y={{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+4x+1$ në pikën x dhe në pikën x=1.

Zgjidhje

Gjejmë $\displaystyle f'\left( x \right)$ :

$\displaystyle f'\left( x \right)=3{{x}^{2}}+4x+4$ .

Gjejmë $\displaystyle f'\left( 1 \right)$ :

$\displaystyle f'\left( 1 \right)=3+4+4=11$ .

Tani gjejmë diferencialin e funksionit në pikën x dhe në pikën x=1:

$\displaystyle df\left( x \right)=f'\left( a \right)\cdot h$

$\displaystyle df\left( x \right)=\left( 3{{x}^{2}}+4x+4 \right)\cdot dx$

$\displaystyle df\left( 1 \right)=11\cdot dx$

Ushtrime te zgjidhura – Derivatet e funksioneve te thjeshta

Ushtrimi 1

Gjeni derivatet në pikën x për funksionet:

a) $\displaystyle a)y=\sqrt{5}$

b) $\displaystyle a)y=2+2x$

c) $\displaystyle a)y=\frac{3x+6}{9}$

d) $\displaystyle a)y=3{{x}^{2}}+2x$

e) $\displaystyle a)y={{x}^{2}}-2x+1$

f) $\displaystyle a)y=\frac{1-{{x}^{2}}}{2}$

Zgjidhje

a) $\displaystyle a)y=\sqrt{5}$

$\displaystyle {{\left( \sqrt{5} \right)}^{'}}=\frac{1}{2\sqrt{5}}$

b) $\displaystyle a)y=2+2x$

$\displaystyle {{\left( 2+2x \right)}^{'}}=0+2=2$

c) $\displaystyle a)y=\frac{3x+6}{9}$

$\displaystyle {{\left( \frac{3x+6}{9} \right)}^{'}}={{\left( \frac{3x}{9}+\frac{6}{9} \right)}^{'}}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$

d) $\displaystyle a)y=3{{x}^{2}}+2x$

$\displaystyle {{\left( 3{{x}^{2}}+2x \right)}^{'}}=6x+2$

e) $\displaystyle a)y={{x}^{2}}-2x+1$

$\displaystyle {{\left( {{x}^{2}}-2x+1 \right)}^{'}}=2x-2$

f) $\displaystyle a)y=\frac{1-{{x}^{2}}}{2}$

$\displaystyle {{\left( \frac{1-{{x}^{2}}}{2} \right)}^{'}}={{\left( \frac{1}{2}-\frac{{{x}^{2}}}{2} \right)}^{'}}={{\left( -\frac{1}{2}{{x}^{2}} \right)}^{'}}=-x$

Keshille! Per me shume shembuj te zgjidhur shikoni Ushtrime te zgjidhura – Derivate

Ushtrimi 2

Jepet funksioni $\displaystyle y=\frac{1}{2}{{x}^{2}}-5x-5$ .

a) Gjeni derivatin e tij në pikën x.

b) Gjeni derivatin e tij në pikën x=1.

c) Për ç’vlera të x kemi $\displaystyle y'=y$ ?

Zgjidhje

a) $\displaystyle y'={{\left( \frac{1}{2}{{x}^{2}}-5x-5 \right)}^{'}}$

$\displaystyle y'=x-5$

b) $\displaystyle y'\left( 1 \right)=1-5=-4$

c) Barazojmë ekuacionin:

$\displaystyle y'=y$

$\displaystyle \frac{1}{2}{{x}^{2}}-5x-5=x-5$

$\displaystyle \frac{1}{2}{{x}^{2}}-5x-x=0$

$\displaystyle \frac{1}{2}{{x}^{2}}-6x=0$

$\displaystyle {{x}^{2}}-12x=0$

$\displaystyle x\left( x-12 \right)=0$

Pra, x=0 ose x=12.

Ushtrimi 3

Zgjidhni inekuacionin $\displaystyle f'\left( x \right)>f\left( x \right)$ nëse f jepet $\displaystyle y=2{{x}^{2}}-30$

Zgjidhje

Gjejmë në fillim $\displaystyle f'\left( x \right)$ :

$\displaystyle f'\left( x \right)=4x$

Tani formojmë inekuacionin:

$\displaystyle 4x>2{{x}^{2}}-30$

$\displaystyle 4x-2{{x}^{2}}+30>0$

$\displaystyle 2{{x}^{2}}-4x-30<0$ $\displaystyle {{x}^{2}}-2x-15<0$ Studiojmë shenjën e inekuacionit duke e zgjidhur atë: $\displaystyle {{x}^{2}}-2x-15=0$ $\displaystyle D=4+60=64$ $\displaystyle _{1}{{x}_{2}}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$ $\displaystyle _{1}{{x}_{2}}=\frac{2\pm 8}{2}$ $\displaystyle {{x}_{1}}=-3$ $\displaystyle {{x}_{2}}=5$ Pra, siç duket nga studimi i shenjës, për vlerat $\displaystyle x\in \left] -3,5 \right[$ kemi $\displaystyle f'\left( x \right)>f\left( x \right)$ .