Derivati i nje funksioni. Gjetja e derivatit | Matematika 12

Derivati i nje funksioni

Përkufizim: Derivat i një funksioni f në pikën a quhet limiti $\displaystyle \underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( a+h \right)-f\left( a \right)}{h}$ , në rast se ky limit ekziston.

Ai shënohet $\displaystyle f'\left( a \right)$ .

Pra, sipas përkufizimit, derivati i funksionit shkruhet:

$\displaystyle f'\left( a \right)=\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( a+h \right)-f\left( a \right)}{h}$ .

Kur funksioni ka derivate në pikën a, ai quhet i derivueshëm në pikën a.

Keshille! Per shembuj te zgjidhur shikoni Ushtrime te zgjidhura – Derivate

Shembulli 1

Të gjëndet derivati i funksionit $\displaystyle f:y={{x}^{2}}$ , në pikën x=2.

Zgjidhje

Nga përkufizimi dimë që $\displaystyle f'\left( a \right)=\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( a+h \right)-f\left( a \right)}{h}$ .

Gjejmë fillimisht f(2):

$\displaystyle f\left( 2 \right)={{2}^{2}}=4$ .

Gjejmë f(2+h):

$\displaystyle f\left( 2+h \right)={{\left( 2+h \right)}^{2}}$

$\displaystyle =4+4h+{{h}^{2}}$

Gjejmë $\displaystyle \frac{f\left( 2+h \right)-f\left( 2 \right)}{h}$ :

$\displaystyle \frac{f\left( 2+h \right)-f\left( 2 \right)}{h}=\frac{4+4h+{{h}^{2}}-4}{h}$

$\displaystyle =\frac{4h+{{h}^{2}}}{h}=4+h$

Gjejmë $\displaystyle \underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( 2+h \right)-f\left( 2 \right)}{h}$ :

$\displaystyle \underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( 2+h \right)-f\left( 2 \right)}{h}\underset{h\to 0}{\mathop{=\lim }}\,4+h=4$ .

Pra, $\displaystyle f'\left( 2 \right)=4$ .

Keshille! Per shembuj te zgjidhur shikoni Ushtrime te zgjidhura – Derivate

Mënyrë tjetër për gjetjen e derivatit

I rikthehemi përkufizimit të derivatit f në pikën a:

$\displaystyle f'\left( a \right)=\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( a+h \right)-f\left( a \right)}{h}$ .

Shënojmë $\displaystyle a+h=x$ , dmth $\displaystyle h=x-a$ . kuptohet që kushti $\displaystyle h\to 0$ është i njëvlershëm me kushtin $\displaystyle x\to a$ , kurse raporti $\displaystyle \frac{f\left( a+h \right)-f\left( a \right)}{h}$ shkruhet $\displaystyle \frac{f\left( x \right)-f\left( a \right)}{x-a}$ .

Arrijmë në përfundimin:

“Funksioni f është i dervueshëm në pikën a vetëm atëherë kur ekziston $\displaystyle \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( a \right)}{x-a}$ ”.

Në këtë rast ky limit jep gjithashtu $\displaystyle f'\left( a \right)$ .

Shembulli 2

Gjeni derivatin e funksionit $\displaystyle f:y=2x-1$ në pikën a, në rast se a=2.

Zgjidhje

Kemi $\displaystyle f\left( x \right)=2x-1$ dhe $\displaystyle f\left( a \right)=2a-1$ .

Prandaj shkruajmë:

$\displaystyle \underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( 2x-1 \right)-\left( 2a-1 \right)}{x-a}$

$\displaystyle =\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x-1-2a+1}{x-a}$

$\displaystyle =\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x-2a}{x-a}=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{2\left( x-a \right)}{x-a}=2$

Pra, $\displaystyle f'\left( 2 \right)=2$ .

Ushtrime të zgjidhura

Ushtrimi 1

Të gjendet derivati i funksionit $\displaystyle y=\frac{6}{x}$ në pikën x=2.

Zgjidhje

Nga përkufizimi shkruajmë:

$\displaystyle \underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( a+h \right)-f\left( a \right)}{h}$

$\displaystyle f\left( 2 \right)=\frac{6}{2}=3$

$\displaystyle f\left( 2+h \right)=\frac{6}{2+h}$

$\displaystyle \underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( 2+h \right)-f\left( 2 \right)}{h}$

$\displaystyle =\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{6}{2+h}-3}{h}$

$\displaystyle =\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{6}{2+h}-\frac{6+3h}{2+h}}{h}$

$\displaystyle =\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{-3h}{2+h}}{h}$

$\displaystyle =\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{-3}{2+h}=-\frac{3}{2}$ .

Pra, $\displaystyle f'\left( 2 \right)=-\frac{3}{2}$ .

Keshille! Per me shume shembuj te zgjidhur shikoni Ushtrime te zgjidhura – Derivate

Ushtrimi 2

Të gjendet sipas përkufizimit derivati i funksionit f në pikën a, nëse:

a) $\displaystyle f:y=-{{x}^{2}}$ dhe a=5.

b) $\displaystyle f:y={{x}^{2}}-x$ dhe a=0.

c) $\displaystyle f:y={{x}^{2}}+x+1$ dhe a=-1.

Zgjidhje

a) Nga përkufizimi kemi:

$\displaystyle f'\left( a \right)=\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( a \right)}{x-a}$ .

Kemi $\displaystyle f\left( x \right)=-{{x}^{2}}$ dhe $\displaystyle f\left( a \right)=-{{a}^{2}}$ .

Shkruajmë:

$\displaystyle f'\left( 5 \right)=\frac{-{{x}^{2}}-\left( {{a}^{2}} \right)}{x-a}$

$\displaystyle f'\left( 5 \right)=\underset{x\to 5}{\mathop{\lim }}\,\frac{-{{x}^{2}}-\left( -{{a}^{2}} \right)}{x-a}$

$\displaystyle =\underset{x\to 5}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}{-\left( a-x \right)}$

$\displaystyle =\underset{x\to 5}{\mathop{\lim }}\,-\left( a+x \right)=-10$

b) Kemi $\displaystyle f\left( x \right)={{x}^{2}}-x$ dhe $\displaystyle f\left( a \right)={{a}^{2}}-a$ .

Shkruajmë:

$\displaystyle f'\left( 0 \right)=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-x-\left( {{a}^{2}}-a \right)}{x-a}$

$\displaystyle =\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}-\left( x-a \right)}{x-a}$

$\displaystyle =\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( x-a \right)\left( x+a-1 \right)}{x-a}$

$\displaystyle =\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,x+a-1=-1$

c) Kemi $\displaystyle f\left( x \right)={{x}^{2}}+x+1$ dhe $\displaystyle f\left( a \right)={{a}^{2}}+a+1$ .

Shkruajmë:

$\displaystyle f'\left( -1 \right)=\underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}+x+1-\left( {{a}^{2}}+a+1 \right)}{x-a}$

$\displaystyle =\underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( {{x}^{2}}-{{a}^{2}} \right)+\left( x-a \right)}{x-a}$

$\displaystyle =\underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( x-a \right)\left( x+a+1 \right)}{x-a}$

$\displaystyle =\underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,x+a+1=-1$