Teorema e sinusit dhe kosinusit | Matematika 10

Teorema e sinusit

Përkufizim: “Në një trekëndësh, raporti i çdo brinje me sinusin e këndit përballë është konstant dhe i barabartë me diametrin e rrethit të jashtëshkruar trekëndëshit”.

Nga përkufizimi shkruajmë formulën:

$\displaystyle \frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }=\frac{c}{\sin \gamma }=2R$ .

Shembull 1

Te gjendet gjatësia e rrezes së rrethit të jashtëshkruar trekëndëshit në të cilin gjatësia e një brinje dhe masa e këndit përballë janë:

a) $\displaystyle a=5$ cm dhe $\displaystyle \alpha =30{}^\text{o}$

b) $\displaystyle c=10$ cm dhe $\displaystyle \gamma =\frac{\pi }{2}$

Zgjidhje

a) $\displaystyle a=5$ cm dhe $\displaystyle \alpha =30{}^\text{o}$

Zbatojmë teoremën e sinusit për të gjetur rrezen e rrethit të jashtëshkruar trekëndëshit:

$\displaystyle \frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }=\frac{c}{\sin \gamma }=2R$

Në këtë rast shkruajmë:

$\displaystyle \frac{a}{\sin \alpha }=2R$

$\displaystyle \frac{5}{\sin 30{}^\text{o}}=2R$

Dimë që $\displaystyle \sin 30{}^\text{o}=\frac{1}{2}$ . Do të kemi:

$\displaystyle \frac{5}{\frac{1}{2}}=2R$

$\displaystyle 2R=10$

$\displaystyle R=5$ cm.

b) $\displaystyle c=10$ cm dhe $\displaystyle \gamma =\frac{\pi }{2}$

Zbatojmë teoremën e sinusit për të gjetur rrezen e rrethit të jashtëshkruar trekëndëshit:

$\displaystyle \frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }=\frac{c}{\sin \gamma }=2R$

Në këtë rast shkruajmë:

$\displaystyle \frac{c}{\sin \gamma }=2R$

$\displaystyle \frac{10}{\frac{\pi }{2}}=2R$

$\displaystyle \frac{20}{\pi }=2R$

$\displaystyle R=\frac{20}{2\pi }=\frac{10}{\pi }$ cm.

Teorema e kosinusit

Përkufizim: “Në një trekëndësh çfarëdo, katrori i gjatësisë së një brinje është i barabartë me shumën e katrorëve të gjatësive të dy brinjëve të tjera, minus dyfishin e prodhimit të këtyre dy brinjëve me kosinusin e këndit ndërmjet tyre”.

Pra, për një trekëndësh ABC mund të shkruajmë:

$\displaystyle {{a}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}}-2bc\cos \alpha$