Progresioni aritmetik | Shuma e n kufizave të fillimit

Progresioni aritmetik

Përkufizim: “Progresion aritmetik quhet vargu numerik tek i cili çdo kufizë (duke filluar nga e dyta) është e barabartë me shumën e kufizës paraardhëse me të njëjtin numër”.

Ky numër shënohet me d dhe quhet ndryshe ndryshesë (diferencë) e progresionit aritmetik. Ai është i ndryshëm në progresione të ndryshme.

Sipas përkufizimit, vargu $\displaystyle \left( {{y}_{n}} \right)$ është progression aritmetik atëherë dhe vetëm atëherë kur, për çdo vlerë të n-së nga bashkësia e përcaktimit (n>1) kemi $\displaystyle {{y}_{n}}={{y}_{n-1}}+d$ .

Ky barazim është i njëvlershëm me $\displaystyle {{y}_{n}}-{{y}_{n-1}}=d$ .

Pra, themi ndryshe që vargu numerik është progression aritmetik atëherë dhe vetëm atëherë kur ndryshesa e çdo kufize (duke filluar nga e dyta) me kufizën paraardhëse është një numër konstant.

Progresioni aritmetik, kur njihet kufiza e parë $\displaystyle {{y}_{1}}$ dhe ndryshesa d, është një varg numerik i dhënë në mënyrë rekurrente me anë të formulës $\displaystyle {{y}_{n}}={{y}_{n-1}}+d$ .

Ne mund të gjejmë secilën prej kufizave të tij njëra pas tjetrës.

Teoremë: “Formula për kufizën e përgjithshme të një progresioni aritmetik $\displaystyle \left( {{y}_{n}} \right)$ është $\displaystyle {{y}_{n}}={{y}_{1}}+\left( n-1 \right)d$ ”.

Shembulli 1

Është dhënë progresioni aritmetik i pafundmë 1, 3, 5, 7….

Të gjendet $\displaystyle {{y}_{35}}$ .

Zgjidhje

Gjejmë në fillim diferencën d:

$\displaystyle d={{y}_{2}}-{{y}_{1}}=3-1=2$

Zbatojmë formulën për të gjtur $\displaystyle {{y}_{35}}$ :

$\displaystyle {{y}_{n}}={{y}_{1}}+\left( n-1 \right)d$

$\displaystyle {{y}_{35}}=1+\left( 35-1 \right)\cdot 2$

$\displaystyle =1+68=69$

Përgjigje: Kufiza e 35-të në progresionin tonë aritmetik është 69.

Shembulli 2

Është dhënë progresioni aritmetik i pafundmë $\displaystyle \frac{1}{2},\frac{3}{2},\frac{5}{2},....$

Të gjendet $\displaystyle {{y}_{10}}$ .

Zgjidhje

Gjejmë në fillim diferencën d:

$\displaystyle d=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=1$

Zbatojmë formulën për të gjtur $\displaystyle {{y}_{10}}$ :

$\displaystyle {{y}_{n}}={{y}_{1}}+\left( n-1 \right)d$

$\displaystyle {{y}_{10}}=\frac{1}{2}+\left( 10-1 \right)\cdot 1$

$\displaystyle =\frac{1}{2}+9=\frac{19}{2}$

Përgjigje: Kufiza e 10-të në progresionin tonë aritmetik është $\displaystyle \frac{19}{2}$ .

Shuma e n kufizave të fillimit të progresionit aritmetik

Teoremë: “Në progresionin aritmetik të fundmë, shuma e dy kufizave të baraslarguara nga skajet është e barabartë me shumën e kufizave të skajeve”.

Kemi formulën $\displaystyle {{S}_{n}}=\frac{\left( {{y}_{1}}+{{y}_{n}} \right)\cdot n}{2}$

Shembulli 3

Të gjendet shuma e 20 kufizave të para të progresionit aritmetik 2, 5, 8, 11, 14……

Zgjidhje

Gjejmë në fillim diferencën d:

$\displaystyle d={{y}_{2}}-{{y}_{1}}=5-2=3$

Zbatojmë formulën për të gjetur shumën e 20 kufizave të para të progresionit:

$\displaystyle {{S}_{n}}=\frac{\left( {{y}_{1}}+{{y}_{n}} \right)\cdot n}{2}$

$\displaystyle {{S}_{20}}=\frac{\left( 2+{{y}_{n}} \right)\cdot 20}{2}$

Gjejmë kufizën e 20-të të progresionit tonë:

$\displaystyle {{y}_{n}}={{y}_{1}}+\left( n-1 \right)d$

$\displaystyle {{y}_{20}}=2+\left( 20-1 \right)\cdot 3=59$

Tani zëvëndësojmë kufizën tek formula:

$\displaystyle {{S}_{20}}=\frac{\left( 2+59 \right)\cdot 20}{2}$

$\displaystyle {{S}_{20}}=61\cdot 10=610$

Përgjigje: Shuma e 20 kufizave të para të progresionit tonë është 610

Progresioni aritmetik, kur njihet kufiza e parë dhe ndryshesa d, është një varg numerik i dhënë në mënyrë rekurrente me anë të formulës .

Shembulli 1

Zgjidhje

Shembulli 2

Zgjidhje

Shuma e n kufizave të fillimit të progresionit aritmetik

Shembulli 3

Zgjidhje

Progresioni aritmetik, kur njihet kufiza e parë $\displaystyle {{y}_{1}}$ dhe ndryshesa d, është një varg numerik i dhënë në mënyrë rekurrente me anë të formulës $\displaystyle {{y}_{n}}={{y}_{n-1}}+d$ .