Provimi i lirimit 2018– Matematike (Ushtrimet me zhvillim)

Provimi i lirimit 2018– Matematike (ushtrimet e zgjidhura me zhvillim)

Këtu do të trajtojmë pyetjet me zhvillim që kanë rënë tek provimi i lirimit në qershor 2018.

Zgjidhja e ushtrimeve të provimit të lirimit 2018 do t’ju ndihmojë në përgatitjen e provimit të lirimit për vitet në vijim.

Ushtrimi 14

a) Të zgjidhet ekuacioni $\displaystyle {{\left( 1-x \right)}^{2}}-2x=1$

b) Të zgjidhet inekuacioni $\displaystyle \frac{3-2x}{3} -x<1$

Zgjidhje

a) $\displaystyle {{\left( 1-x \right)}^{2}}-2x=1$

Në fillim zbërthejmë katrorin e binomit:

$\displaystyle 1-2x+{{x}^{2}}-2x=1$

Duke bërë thjeshtimet do të kemi:

$\displaystyle -4x+{{x}^{2}}=0$

$\displaystyle {{x}^{2}}-4x=0$

Bëjmë faktorizimin:

$\displaystyle x\left( x-4 \right)=0$

Do të kemi:

$\displaystyle x=0~ose~x-4=0$

$\displaystyle x=0~ose~x=4$

b) $\displaystyle \frac{3-2x}{3} -x<1$ Në fillim shumëzojmë me 3 të dyja krahët në mënyrë që të heqim emëruesin:

$\displaystyle 3-2x-3x<3$

$\displaystyle -5x<0$

$\displaystyle \frac{-5x}{-5}>\frac{0}{-5}$

$\displaystyle x>0$

Pra, bashkësia e vlerave të x është $\displaystyle A=\left\{ x\in R/x>0 \right\}$ .

Ushtrimi 15

Thjeshtoni shprehjen $\displaystyle \sqrt{48}-\sqrt{12}$

Zgjidhje

$\displaystyle \sqrt{48}-\sqrt{12}$

I shkruajmë fuqitë në formë prodhimi:

$\displaystyle =\sqrt{16\cdot 3}-\sqrt{4\cdot 3}$

$\displaystyle =4\sqrt{3}-2\sqrt{3}$

Tani bëjmë faktorizime:

$\displaystyle =\sqrt{3}\left( 4-2 \right)=2\sqrt{3}$

Ushtrimi 16

Jepet trapezi ABCD me diagonale AC = 13 cm dhe BD = 15 cm dhe lartësi 12 cm. Gjeni sipërfaqen e tij.

Zgjidhje

Në fillim zgjasim DC në mënyrë të tillë që CE = AB dhe EB // AC.

Pra, kemi ABEC paralelogram, ku AC = BE dhe AB = CE.

Formulën $\displaystyle S=\frac{\left( AB+CD \right)\cdot h}{2}$ mund ta zëvëndësojmë $\displaystyle S=\frac{\left( CE+CD \right)\cdot h}{2}$ ose $\displaystyle S=\frac{DE\cdot h}{2}$ .

Ndërtojmë lartësinë e trapezit.

Me anë të teoremës së Pitagorës gjejmë DH dhe HE.

$\displaystyle {{\left( HD \right)}^{2}}={{\left( BD \right)}^{2}}-{{\left( BH \right)}^{2}}$

$\displaystyle {{\left( HD \right)}^{2}}={{15}^{2}}-{{12}^{2}}$

$\displaystyle {{\left( HD \right)}^{2}}=225-144=81$

$\displaystyle HD=9~cm$

$\displaystyle {{\left( HE \right)}^{2}}={{\left( BE \right)}^{2}}-{{\left( BH \right)}^{2}}$

$\displaystyle {{\left( HE \right)}^{2}}={{13}^{2}}-{{12}^{2}}$

$\displaystyle {{\left( HE \right)}^{2}}=169-144=25$

$\displaystyle HE=5~cm$

Pra, DE = HD + HE = 9 + 5 = 14 cm.

Tani gjejmë sipërfaqen:

$\displaystyle S=\frac{DE\cdot h}{2}$

$\displaystyle S=\frac{14\cdot 12}{2}=14\cdot 6=84~c{{m}^{2}}$

Ushtrimi 17

Perimetri i një drejtkëndëshi është 250 m. gjatësia e tij është 5 m më e madhe se 3-fishi i gjerësisë.

Gjeni syprinën e drejtkëndëshit.

Zgjidhje

Kemi drejtkëndëshin me gjatësi a dhe gjerësi b.

Kemi:

P = 250 m

$\displaystyle a=5+3b$

Formojmë ekuacionin:

$\displaystyle P=2\left( a+b \right)$

Bëjmë zëvëndësimet:

$\displaystyle 250=2\left( 5+3b+b \right)$

$\displaystyle 250=10+8b$

$\displaystyle 8b=240$

$\displaystyle b=\frac{240}{8}=30~m$

Tani gjejmë gjatësine a:

$\displaystyle a=5+3b=5+3\cdot 30=95~m$

Gjejmë sipërfaqen e drejtkëndëshit:

$\displaystyle S=a\cdot b=95\cdot 30=2850~{{m}^{2}}$

Ushtrimi 18

Të zgjidhet sistemi

Zgjidhje

Për zgjidhjen e sistemit përdorim mënyrën me zëvëndësim:

Veçojmë x-in tek ekuacioni i parë:

$\displaystyle 2x-3y=5$

$\displaystyle 2x=3y+5$

$\displaystyle x=\frac{3y+5}{2}$

E zëvëndësojmë x-in tek ekuacioni i dytë:

$\displaystyle 3x+2y=14$

$\displaystyle 3\left( \frac{3y+5}{2} \right)+2y=14$

Pjestojmë me 2 të dy anët:

$\displaystyle 9y+15+4y=28$

$\displaystyle 13y=13$

$\displaystyle y=1$

Tani zëvëndësojmë vlerën e y-it tek ekuacioni i parë:

$\displaystyle 2x-3y=5$

$\displaystyle 2x-3=5$

$\displaystyle 2x=8$

$\displaystyle x=4$

Pra, zgjidhje e sistemit është çifti i radhitur (4, 1).

Ushtrimi 19

Jepet funksioni $\displaystyle {{x}^{2}}-3x+4$ .

a) Gjeni pikën në grafik me abshisë 1

b) Gjeni pikën në grafik me ordinatë 2

Zgjidhje

E shkruajmë funksionin ne trajtën $\displaystyle y={{x}^{2}}-3x+4$ .

a) Zëvëndësojmë x-in me 1 dhe gjejmë y-in:

$\displaystyle y={{1}^{2}}-3\cdot 1+4$

$\displaystyle y=2$

Pra, pika në grafik më abshisë 1 në funksionin $\displaystyle {{x}^{2}}-3x+4$ është pika (1, 2)

b) Zëvëndësojmë y-in me 2 dhe gjejmë x-in:

$\displaystyle 2={{x}^{2}}-3x+4$

E shkruajmë në trajtë të rregullt:

$\displaystyle {{x}^{2}}-3x+2=0$

Gjejmë dallorin:

$\displaystyle D={{b}^{2}}-4ac$

$\displaystyle D={{\left( -3 \right)}^{2}}-4\cdot 1\cdot 2=1$

$\displaystyle D>0$ , pra ekuacioni ka dy zgjidhje.

$\displaystyle {{x}_{1}}=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}$

$\displaystyle {{x}_{1}}=\frac{3+\sqrt{1}}{2\cdot 1}=\frac{4}{2}=2$

$\displaystyle {{x}_{2}}=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}$

$\displaystyle {{x}_{2}}=\frac{3-\sqrt{1}}{2\cdot 1}=\frac{2}{2}=1$

Pikat në grafik me ordinatë 2 në funksionin $\displaystyle {{x}^{2}}-3x+4$ janë pikat (1,2 ) dhe (2, 2).

Ushtrimi 20

Në një trekëndësh kënddrejtë lartësia mbi hipotenuzë është 6 cm dhe projeksioni i njërit katet është mbi hipotenuzë është 8 cm.

a) Gjeni gjatësinë e këtij kateti

b) Gjeni hipotenuzën dhe katetin tjetër

Zgjidhje

a) Kemi AH = 6 cm dhe BH = 8 cm.

Gjejmë katetin AB në bazë të teoremës së Pitagorës:

$\displaystyle {{\left( AB \right)}^{2}}={{\left( AH \right)}^{2}}+{{\left( BH \right)}^{2}}$

$\displaystyle {{\left( AB \right)}^{2}}={{6}^{2}}+{{8}^{2}}$

$\displaystyle {{\left( AB \right)}^{2}}=36+64=100$

$\displaystyle AB=\sqrt{100}=10~cm$ .

b) Për të gjetur hipotenuzën BC zbatojmë teoremën e dytë të Euklidit:

$\displaystyle {{\left( AB \right)}^{2}}=BH\cdot BC$

$\displaystyle 100=8\cdot BC$

$\displaystyle BC=\frac{100}{8}=12,5~cm$

Për të gjetur katetin tjetër përdorim teoremën e Pitagorës:

$\displaystyle {{\left( AC \right)}^{2}}={{\left( BC \right)}^{2}}-{{\left( AB \right)}^{2}}$

$\displaystyle {{\left( AC \right)}^{2}}=12,{{5}^{2}}-{{10}^{2}}$

$\displaystyle {{\left( AC \right)}^{2}}=156.25-100=56.25$

$\displaystyle AC=\sqrt{56.25}=7,5~cm$

Ushtrimi 21

Të thjeshtohet thyesa $\displaystyle \frac{2xb-2b}{1-{{x}^{2}}}$

Zgjidhje

Përdorim faktorizimet:

$\displaystyle \frac{2xb-2b}{1-{{x}^{2}}}=\frac{2b\left( x-1 \right)}{\left( 1-x \right)\left( 1+x \right)}$

$\displaystyle =\frac{2b\left( x-1 \right)}{-1\left( x-1 \right)\left( 1+x \right)}$

$\displaystyle =\frac{2b}{-1\left( 1+x \right)}=-\frac{2b}{x+1}$

Ushtrimi 22

Brinjët e një trekëndëshi rrinë si 4:5:6. Perimetri i një trekëndëshi të ngjashëm me të është 45 cm. Gjeni brinjët e trekëndëshit të dytë.

Zgjidhje

Brinjët e trekëndëshit të parë rrinë 4x : 5x : 6x.

Brinjët e trekëndëshit të dytë rrinë 4xk : 5xk : 6xk.

4xk + 5xk + 6xk=45

15xk=45

xk=3

Tani zëvëndësojmë xk tek brinjët e trekëndëshit të dytë dhe do të kemi:

$\displaystyle Brinja\text{ }e\text{ }par\ddot{e}:\text{ }4\cdot 3\text{ }=\text{ }12\text{ }cm$

$\displaystyle Brinja\text{ }e\text{ dyt}\ddot{e}:\text{ 5}\cdot 3\text{ }=\text{ }15\text{ }cm$

$\displaystyle Brinja\text{ }e\text{ tret}\ddot{e}:\text{ 6}\cdot 3\text{ }=\text{ }18\text{ }cm$

Ushtrimi 23

Shuma e katër numrave të njëpasnjëshëm është 38.

a) Gjeni mesataren e tyre

b) Gjeni numrat

Zgjidhje

a) Për të gjetur mesataren mjafton të pjesëtojmë shumën e numrave me 4. Pra:

$\displaystyle m=\frac{38}{4}=9,5$

b) Për të gjetur numrat, në fillim formojmë ekuacionin:

$\displaystyle x+\left( x+1 \right)+\left( x+2 \right)+\left( x+3 \right)=38$

$\displaystyle 4x+6=38$

$\displaystyle 4x=32$

$\displaystyle x=8$

Numri i parë është 8, ndërsa numrat e tjerë janë 9, 10 dhe 11.

Ushtrimi 24

Për ç’vlerë të a ekuacioni $\displaystyle {{x}^{2}}-ax+1=0$ nuk ka rrënjë reale?

Zgjidhje

Duhet që $\displaystyle D<0$ . Pra, $\displaystyle {{b}^{2}}-4ac<0$ . Bëjmë zëvëndësimet: $\displaystyle {{\left( -a \right)}^{2}}-4\cdot 1\cdot 1<0$ $\displaystyle {{a}^{2}}<4$ $\displaystyle {{a}^{2}}<4$ $\displaystyle \left( a-2 \right)\left( a+2 \right)<0$ Tani bëjmë studimin e shenjës: