Vetite dhe variacioni i funksionit y = tgx | Matematika 11

Veti të funksionit y = tgx

Meqënëse $\displaystyle tgx=\frac{{{y}_{M}}}{{{x}_{M}}}$ , ai ekziston vetëm për ato vlera x të harqeve AM, që e kanë $\displaystyle {{x}_{M}}\ne 0$ , domethënë për të cilat $\displaystyle \cos x\ne 0$ .
Duke njohur shenjat e sinx, cosx dhe në bazë të formulës $\displaystyle tgx=\frac{\sin x}{\cos x}$ , nxjerrim përfundimet e paraqitura në tabelën e mëposhtme, lidhur me shenjën e tgx, sipas kuadratit ku mbaron harku x.

Shënojmë me t drejtëzën tangjente ndaj rrethit trigonometrik, hequr në pikën A. Marrim harkun trigonometrik AM me vlerë x dhe shënojmë me T pikën ku drejtëza $\displaystyle \left( OM \right)$ pret tangjenten t.

Vektorët $\displaystyle \vec{OM}$ dhe $\displaystyle \vec{OT}$ janë bashkëvizorë, prandaj ekziston një numër k, i tillë që $\displaystyle \vec{OT}=k\cdot \vec{OM}$ .
Nga këtu del që:

Pra, $\displaystyle \frac{{{y}_{T}}}{{{y}_{M}}}=\frac{{{x}_{T}}}{{{x}_{M}}}=k$ , pra $\displaystyle {{y}_{T}}=\frac{{{x}_{T}}\cdot {{y}_{M}}}{{{x}_{M}}}$ .

Por $\displaystyle {{x}_{T}}=1$ dhe $\displaystyle tgx=\frac{{{y}_{M}}}{{{x}_{M}}}$ .

Meqë $\displaystyle {{y}_{T}}$ është ordinatë e pikës T, por edhe e vektorit AT, barazimi $\displaystyle tgx={{y}_{T}}$ shprehet kështu: “Në rrethin trigonometrik, tgx paraqitet gjeometrikisht nga vektori AT”.

Funksioni y = tgx është funksion periodik me periodë π. Tregohet gjithashtu dhe që $\displaystyle tg\left( \pi +k\pi \right)=tgx$ , $\displaystyle x\in Z$ .

Variacioni i funksionit y = tgx

Meqënëse ky funksion është periodik me periodë π, mjafton ta studiojmë atë në një segment me gjatësi π, saktësisht në segmentin $\displaystyle \left[ \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right]$ .

Meqënëse y = tgx, mjafton të shqyrtojmë se si ndryshon ordinate e pikës T, kur x rritet nga $\displaystyle -\frac{\pi }{2}$ drejt $\displaystyle \frac{\pi }{2}$ , domethënë kur pika M lëviz në rrethin trigonometrik nga B’ në B.

Më poshtë kemi grafikun e funksionit y = tgx, $\displaystyle x\in \left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right]$ . Grafiku i funksionit $\displaystyle y=tgx$ merret duke përsëritur një sasi të pafundme herësh majtas e djathtas.

Ndërtojmë tabelën dhe grafikun e funksionit:

tabela e funksionit

grafiku i funksionit