Trinomi i fuqise se dyte me nje te panjohur
Përkufizim: “Shprehja quhet trinom i fuqisë së dytë me një të panjohur”.
është ana e majtë e ekuacionit
.
Përkufizim: “Rrënjë të trinomit do të quajmë rrënjët e ekuacionit
”.
Studimi i shënjës së trinomit
Për të përcaktuar shënjën e trinomit veprojmë kështu:
- Le të jenë
(D>0) rrënjët e trinomit
(
). Faktorizojmë a-në:
.
Nga formulat e Vietës shkruajmë:
dhe
.
I zëvëndësojmë tek formula më lart:
.
Kryejmë faktorizimin me grupe:
.
Pra, kemi:
.
Kemi tre raste:
Rasti i parë
dhe
.
Nëse , atëherë
.
Nëse , atëherë
. Pra, prodhimi ka shënjën e a-së.
Rasti i dytë
.
Nëse , atëherë
.
Nëse , atëherë
. Pra, prodhimi ka shënjën e a-së.
Për këto dy raste del ky përfundim: Trinomi ka shënjën e a-së për të gjitha x-et jashtë rrënjëve.
Rasti i tretë
ose
atëherë
.
Përfundim: Për të gjitha x-et jashtë rrënjëve vlerat e trinomit kanë shënjën e a-së, për të gjitha x-et midis rrënjëve vlerat e trinomit kanë shënjën e kundërt të a-së dhe për x të barabarta me rrënjët trinomi merr vlerën zero.
Ndërtojmë tabelën per studimin e shënjës së trinomit.
- Le të jetë
(D=0) rrënja e trinomit
.
Ana e djathtë e barazimit tregon se për çdo vlerë vlerat e trinomit kanë shënjën e a-së dhe për
, pra për rrënjën, trinomi merr vlerën zero.
Ndërtojmë tabelën për studimin e shënjës së trinomit.
- Vërtetohet se trinomi nuk ka rrënjë reale (D<0), për çdo x reale mmerr vlera që kanë shënjës e a-së.
Përfundim
- Nëse D>0 trinomi për të gjitha x jashtë rrënjëve merr vlera me shënjën e a-së dhe për të gjitha x Brenda rrënjëve merr vlera me shënjën e kundërt të a-së.
- Në qoftë se D=0 trinomi për çdo x të ndryshëm nga rrënja merr vlera me shënjën e a-së.
- Nëse D<0 trinomi për të gjitha x-et merr vlera me shënjën e a-së.
Hapat që ndiqen për studimin e shënjës së trinomit janë:
- Trinomi barazohet me zero.
- Gjejmë rrënjët e ekuacionit të formuar.
- Ndërtohet tabela e studimit të shënjës së trinomit.
Shembull 1
Të studiohet shënja e trinomit
Zgjidhje
Në fillim barazojmë trinomin me zero:
.
Zgjidhim ekuacionin. Gjejmë dallorin:
, pra
dhe
.
Ndërtojmë tabelën:
Tabela tregon se për trinomi merr vlera positive.
Për trinomi merr vlera negative dhe për
trinomi merr vlerën zero.