Prodhimi kartezian | Katrori kartezian | Matematika 10

Përkufizim: “Prodhim kartezian i dy bashkësive A dhe B quhet bashkësia C, e formuar nga të gjitha çiftet e radhitura, ku elementi i parë i çiftit është element i A dhe elementi i dytë është i B”.

Simbolikisht shënohet AxB dhe lexohet prodhimi kartezian i bashkësisë A me bashkësinë B.

Çiftet e radhita (a, b) dhe (b, a) nuk janë njësoj.

Shembull 1

Gjeni prodhimin kartezian AxB, nëse $\displaystyle A=\left\{ 3,2,5,4 \right\}$ dhe $\displaystyle B=\left\{ 1,4,2,5, \right\}$ .

Zgjidhje

$\displaystyle AxB=\{\left( 3,1 \right),\left( 3,4 \right),\left( 3,2 \right),\left( 3,5 \right),$

$\displaystyle \left( 2,1 \right),\left( 2,4 \right),\left( 2,2 \right),\left( 2,5 \right),$

$\displaystyle \left( 5,1 \right),\left( 5,4 \right),\left( 5,2 \right),\left( 5,5 \right),$

$\displaystyle \left( 4,1 \right),\left( 4,4 \right),\left( 4,2 \right),\left( 4,5 \right)\}$

$\displaystyle n\left( A \right)=4$ , $\displaystyle n\left( B \right)=4$ , $\displaystyle n\left( AxB \right)=4\cdot 4=16$ .

Vëmë re se ekziston një lidhje ndërmjet $\displaystyle n\left( A \right)$ , $\displaystyle n\left( B \right)$ dhe $\displaystyle n\left( A\cdot B \right)$ , ku $\displaystyle n\left( A\cdot B \right)=n\left( A \right)\cdot n\left( B \right)$ .

Katrori kartezian

Nëse A = B, atëherë prodhimi AxB shkruhet $\displaystyle AxA={{A}^{2}}$ dhe quhet katror kartezian.

Shembull 1

Nëse $\displaystyle n\left( {{A}^{2}} \right)=16$ , $\displaystyle \left( 2,5 \right)\in {{A}^{2}}$ dhe $\displaystyle \left( 1,3 \right)\in {{A}^{2}}$ , gjeni elementët e bashkësisë A.

Zgjidhje

$\displaystyle n\left( {{A}^{2}} \right)=n\left( A \right)\cdot n\left( A \right)$

$\displaystyle {{\left[ n\left( A \right) \right]}^{2}}=16\Leftrightarrow n\left( A \right)=4$

Pra, gjetëm numrin e elementëve të bashkësisë A.

Meqënëse $\displaystyle \left( 2,5 \right)\in {{A}^{2}}$ dhe $\displaystyle \left( 1,3 \right)\in {{A}^{2}}$ , atëherë numrat 2, 5, 1, 3 duhet të jenë patjetër në bashkësinë A. Meqënëse kjo bshkësi ka 4 element arrijmë në përfundimin që $\displaystyle A=\left\{ 1,2,3,5 \right\}$ .

Bashkësitë numerike

Nëse të gjitha elementët e një bashkësie janë numra, atëherë bashkësia quhet bashkësi numerike.

Deri tani kemi mësuar disa bashkësi numerike:

Bashkësia e numrave natyrorë. $\displaystyle N=\left\{ 1,2,3,4,5.... \right\}$
Bashkësia e numrave të plotë. $\displaystyle Z=\left\{ -3,-2,-1,01,2,3,.... \right\}$
Bashkësia e numrave racionalë Q.
Bashkësia e numrave irracionalë I.
Bashkësia e numrave realë R. $\displaystyle R=Q\cup I$